Otoregresif hareketli ortalamalar modeli

Vikipedi, özgür ansiklopedi

İstatistik'te George Box ve M.Jenkins'e ithafen Box Jenkins modelleri olarak da bilinen otoregresif hareketli ortalamalar modelleri, zaman serisi verilerinde uygulanır.

Xt şeklinde bir zaman serisi verisi (datası) verildiğinde, ARMA modeli, serinin gelecek dönemlerdeki değerlerini anlamak ve hatta öngörmek için kullanılır. Model iki kısımdan oluşur. Bunlardan birisi otoregresif kısım (AR), diğeri ise hareketli ortalamalar kısmıdır. Model, genellikle p otoregresif kısmın derecesi, q ise hareketli ortalama kısmının derecesi olmak üzere ARMA(p,q) modeli şeklinde gösterilir.


Konu başlıkları

[değiştir] Otoregresif Model

AR(p) ifadesi p. dereceden otoregresif bir modeli tanımlar. AR(p) modeli şöyle gösterilir:

X_t = c + \sum_{i=1}^p \phi_i X_{t-i}+ \epsilon_t .\,

\phi_1, \ldots \phi_p, modelin parametrelerini; c, sabit terimi; εt ise hata terimini simgeler. Pek çok yazar tarafından basitleştirme maksadıyla sabit terim ihmal edilir. Modelin durağan olması için parametreler üzerinde kısıtlamaya gidilmelidir. Örneğin |φ1| > 1 durumunun geçerli olduğu bir AR(1) modeli durağan değildir.

[değiştir] Örnek: AR(1) Süreci

AR(1) süreci:

X_t = c + \phi X_{t-1}+\epsilon_t,\,

şeklinde tanımlanır. εt, beyaz gürültülü ve 0 ortalamaya sahip σ2 varyanslı bir süreçtir. Eğer, | φ | < 1 sağlanırsa süreç kovaryans durağandır. Eğer φ = 1 sağlanıyorsa süreç birim kök içermektedir ve durağan olduğu söylenemez. φ = 1 durumu aynı zamanda rassal yürüyüş olarakta bilinen özel bir durumdur. Bu durumda Xt için beklenen değeri hesaplamak mümkün değildir.

[değiştir] AR Parametrelerinin Hesaplanması

X_t = \sum_{i=1}^p \phi_i X_{t-i}+ \epsilon_t.\,

denklemi ile verilen bir AR(p) modeli φi parametrelerine dayanır. Bu parametreler Yule-Walker denklemleri ile hesaplanır:

\gamma_m = \sum_{k=1}^p \phi_k \gamma_{m-k} + \sigma_\epsilon^2\delta_m

m = 0...p olup sonuçta p+1 tane denklem ortaya çıkar. γm, X'in otokorelasyon fonksiyonu olup σε girdi gürültü sürecinin standart hatasıdır. δm ise Kronecker Delta Fonksiyonu'nu gösterir.

Denklemin son kısmı yalnızca m=0 olma durumunda sıfırdan farklı olacağından, denklem m>0 koşulunu sağlayan bir matris şeklinde ifade edilerek çözülür.

\begin{bmatrix} \gamma_1 \\ \gamma_2 \\ \gamma_3 \\ ... \\ \end{bmatrix}   =  \begin{bmatrix} \gamma_0 & \gamma_{-1} & \gamma_{-2} & ... \\ \gamma_1 & \gamma_0 & \gamma_{-1} & ... \\ \gamma_2 & \gamma_{1} & \gamma_{0} &... \\ ...      & ...         & ...       &... \\ \end{bmatrix}   \begin{bmatrix} \phi_{1} \\ \phi_{2} \\ \phi_{3} \\ ... \\ \end{bmatrix}

m=0 için bütün φler elde edildiğinde.

\gamma_0 = \sum_{k=1}^p \phi_k \gamma_{-k} + \sigma_\epsilon^2

ifadesi ortaya çıkar ki bu \sigma_\epsilon^2 değerini bulmamızı sağlar.


[değiştir] Hareketli Ortalamalar Modeli

MA(q) ifadesi, q. dereceden bir hareketli ortalamalar modelini ifade eder

X_t = \varepsilon_t + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}\,

θ1, ..., θq modelin parametreleridir εt, εt-1,... modelin hata terimleridir.

[değiştir] Otoregresif Hareketli Ortalamalar Modeli

Bu model, AR(p) and MA(q) modellerinin bir birleşimidir,

X_t = \varepsilon_t +  \sum_{i=1}^p \phi_i X_{t-i} + \sum_{i=1}^q \theta_i \varepsilon_{t-i}.\,

şeklinde gösterilir.

[değiştir] Modelin Tahmini

Model sadece AR(p) ile kurulursa Yule-Walker denklemleri çözüm için yeterli olacaktır ARMA(p,q) şeklinde bir model kurulduğunda ise önce p ve q değerlerinin kaç olacağına karar verilir, yâni kaç adet gecikmeli değişken kullanılacağı önem kazanır. Genelde p ve q'nun küçük seçilmesi tavsiye edilir. p ve q sayıları seçildikten sonra ise model en küçük kareler yöntemi ile tahmin edilebilir.


[değiştir] Kaynakça

İlgili İngilizce Wikipedia maddesinin 4 Haziran sürümünden faydalanılmıştır ([1])