Küme

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Küme, nesneler topluluğu anlamına gelir. Matematiğin en temel ve önemli kavramlarından biridir.

Konu başlıkları

[değiştir] Kümelerin tanım ve gösterimi

Bir kümenin içinde bulunan herhangi bir nesne (a), o kümenin (A) elemanı olarak adlandırılır ve a \in A şeklinde gösterilir.

[değiştir] Listeleme

En basit tanımlama biçimi, doğrudan elemanları listelemektir. Bu elemanlar genelde virgül (,) ile ayrılıp tırnak parantezler ({}) içerisinde gösterilir. Örnekler:

A={Ahmet, 1, c}
G={Pazartesi, Salı, Çarşamba, Perşembe, Cuma, Cumartesi, Pazar} 

[değiştir] Dolaylı listeleme

Küme elemanlarının sayılması pratik olmayacak kadar çok olması durumunda hepsini listelemek mümkün olmayabilir. Bu durumlarda küme, elemanlarının ortak özellikleri ile de tanımlanabilir; örn. pozitif kesirli (rasyonel) sayılar kümesini tanımlamak için {x|a ve b negatif olmayan tamsayılar, b sıfırdan farklı ve x= a/b} yazımı kullanılabilir. Burada "|"'i takip eden tanımdaki şartları sağlayan x değerlerinin küme elemanı olduğu belirtilmektedir. Ya da daha resmi bir şekilde;

\mathbb{Q}^+=\{x| a \in \mathbb{N} \wedge b \in \mathbb{Z}^+~\wedge~x=\frac{a}{b} \}

[değiştir] Venn Şeması

En temel küme gösterimi Venn Şemasıdır. Bu gösterimde, küme elemanları kümeyi belirten kapalı bir eğri içindeki birer noktaolarak gösterilir; boş kümeyi göstermek için içi boş bir kapalıeğri kullanılır.

[değiştir] Altküme

A ve B iki küme olmak üzere, eğer A kümesinin her elemanı B kümesinin de elemanı ise, A kümesi B kümesinin altkümesidir ve A \subseteq B şeklinde gösterilir. Eğer B kümesinin A 'da olmayan en az bir elemanı varsa, A B 'nin düzgün altkümesidir ve A \subset B şeklinde gösterilir. Aynı şekilde B de A 'nın (düzgün) üst kümesidir.

Bu tanımlara göre, herhangi iki küme C ve D, aşağıdaki özellikleri daima sağlar;

C \subseteq C
C \subseteq D ~\leftrightarrow~ \forall x (x \in C \rightarrow x \in D)
C \subset D ~\leftrightarrow~ \forall x (x \in C \rightarrow x \in D)~\wedge~\exists y (y \in D \wedge y \notin C)

n elemanlı bir kümenin, kendisi dahil 2n tane alt kümesi vardır. Bu sonuç (1 + 1)n ifadesinin binom açılımından bulunabilir. Bir kümenin bütün altkümelerini bulunduran kümeye o kümenin güç kümesi denir.

[değiştir] Temel küme işlemleri

[değiştir] Birleşim

BİRLEŞİM KÜMESİ:İki kümenin birleştiği yere denir.

A ve B iki küme iken, bunların birleşimi (A \cup B), en azından birinde bulunan elemanların oluşturduğu kümedir;

A \cup B = \{x| x \in A \vee x \in B\}

[değiştir] Kesişim

KESİŞİM KÜMESİ:İki kümenin kesiştiği yere kesişim kümesi denir. A ve B iki küme iken, bunların kesişimi (A \cap B), her ikisinde de bulunan elemanların oluşturduğu kümedir;

A \cap B = \{x| x \in A \wedge x \in B\}

[değiştir] Fark

İki kümenin farkı, birincisinde olup diğerinde olmayan elemanların kümesidir;

A - B = \{x| x \in A \wedge x \notin B\}

Kimi zaman A~-~B yerine, A~\setminus~B şeklinde gösterilebilir.

[değiştir] Tümleşim

A bir küme iken, tümleyeni (A'), belli bir evrensel küme (U) için evrensel küme de olup A 'da olmayanların kümesidir;

A'=U~-~A

[değiştir] Özel kümeler

  • Boş küme (\emptyset)
\emptyset = \{\}
\mathbb{N}=\{0, 1, 2, ...\}
Bazı matematikçiler 0'ı dahil etmez.
\mathbb{Z}=\{..., -2, -1, 0 , 1, 2, ...\}
\mathbb{Q}=\{\frac{a}{b}| a \in \mathbb{Z} \wedge b \in \mathbb{Z}^+ \}

[değiştir] İlgili bağlantılar