Ki-kare dağılımı

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Bu dağılım, gamma dağılımından elde edilir.

x, λ ve n parametreleri ile gamma dağılımına sahip olsun:

f(x)= \frac{1}{\lambda^n \Gamma(n)} x^{n-1}e^{-\frac{x}{\lambda}} \qquad , x>0 olur.

Burada λ = 2 ve n = ν / 2 alınırsa, elde edilen yeni dağılıma, ν serbetlik derecesiyle ki-kare dağılımı denir ve \Chi _\nu ^2 ile gösterilir.

x, ν serbetlik derecesiyle ki-kare dağılımına sahip ise:


ki-kare 1 n(0.1)'e eşittir f(x)= \frac{1}{2^{\frac{\nu}{2}} \Gamma(\frac{\nu}{2})} x^{\frac{\nu}{2}-1} e^{-x/2} \qquad ,x>0 olur.



Teorem 1
x\sim N(0,1) ise x^2 \sim \Chi _1^2 olur.



Teorem 2
x_1 , x_2 , \cdots , x_n rastsal değişkenler N(0,1) dağılımına sahip olsun.
y= \sum_{i=1}^n x_i^2 ise y \sim \Chi_n^2 olur.



Teorem 3
σ2 varyansı bilinen, N(μ,σ2) dağılımına sahip rasgele örneklem x_1, x_2, \cdots, x_n ve s2 örneklem varyansı olmak üzere:
\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2} \sim \Chi_{n-1}^2 olur.