Diverjans

Vikipedi, özgür ansiklopedi

\vec F(x,y,z) ile gösterilen bir vektör alanın diverjansı fiziksel anlamda en basit olarak alanın akısıyla betimlenebilir. Diverjans, hacim sıfıra giderken, \vec F(x,y,z)'in birim hacime düşen akısı olarak tanımlanabilir. Sembolik olarak

\mbox{div} \vec{F} \equiv \lim_{\Delta v \rightarrow 0} \frac{\oint_S{\vec{F}\cdot d\vec{s}}}{\Delta v}


burada S hacmi saran kapalı yüzeyi belirtmektedir. Diverjans teoremi yardımıyla, diverjansın nabla operatörü (\vec \nabla) ile \vec F'nin skaler çarpımına eşit olduğu belirlenebilir. Kartezyen koordinatlarda

\mbox{div} \vec F = \vec \nabla \cdot \vec F = \frac{\partial F_x}{\partial x} + \frac{\partial F_y}{\partial y} + \frac{\partial F_z}{\partial z}

Genel olarak u_1, u_2,u_3 \, gibi genel dik koordinatlarda \vec F \equiv (F_1, F_2, F_3) için diverjansın tanımı şöyledir,


\nabla \cdot \vec F = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[ \frac{\partial}{\partial u_1} h_2 h_3 F_1+\frac{\partial}{\partial u_2} h_1 h_3 F_2+\frac{\partial}{\partial u_3} h_1 h_2 F_3 \right]


burada h_1, h_2, h_3\, ilgili koordinatların metrik katsayılarının karekökünü belirtmektedir.


Diverjansın tansör notasyonunda yazılımı,

\mbox{div} \vec F = \partial_i F_i veya \mbox{div} \vec F = F_{i,i} olur.


\phi\, skaler bir alan, \vec F ve \vec G de vektörel bir alan olmak üzere, diverjans alma işleminin özellikleri şöyle sıralanabilir:

\vec \nabla \cdot (\vec F + \vec G) = \vec \nabla \cdot \vec F + \vec \nabla \cdot \vec G
\vec \nabla \cdot (\phi \vec F) = (\vec \nabla \phi) \cdot \vec F + \phi(\vec \nabla \cdot \vec F)
\vec \nabla \cdot (\vec F \times \vec G) = \vec G \cdot(\vec \nabla \times \vec F) - \vec F \cdot (\vec \nabla \times \vec G)