Potansiyel kuyusu

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Bir parçacığın bağlı olması durumunu modelleyen sistemdir. Tek boyutta uygulanan potansiyel:


V(x) = \begin{cases} 0, & 0<x<a \\ \infty, & \mbox{diger }\end{cases}


şeklinde verilir. Burada parçacık görüldüğü üzere a genişlikli sonsuz kuyunun içine hapsolmuştur. Parçacık için Schrödinger denklemi yazılırsa:


\frac{d^2\psi}{dx^2}=-\frac{2mE}{\hbar^2}\psi

\frac{d^2\psi}{dx^2}+k^2\psi=0 \mbox{ , (I)}

k^2=\frac{2mE}{\hbar^2} \mbox{ , (II)}


\mbox{(I)}\, denklemin çözümü ise {\psi}_\mbox{ic}(x)=A\sin(kx)+B\cos(kx)\, olarak elde edilir. Bu, parçacığı kuyu içinde temsil eden dalga fonksiyonudur. Uygulanan potansiyel sonsuz olduğu için parçacığın dışarda bulunması olasılığı sıfır olacağından, dışardaki dalga fonksiyonu {\psi}_\mbox{dis}(x)=0\, olur. Sınırlarda iki dalga fonksiyonunun değerlerinin alacağı değerler birbirine eşit olmak zorunda olduğundan sınır koşulları ortaya çıkar.


  • {\psi}_\mbox{ic}(0)={\psi}_\mbox{dis}(0)=0\,

A\sin0+B\cos0 = 0\ \mbox{ , } B=0\,

{\psi}_\mbox{ic}(x)=A\sin(kx)\,


  • {\psi}_\mbox{ic}(a)={\psi}_\mbox{dis}(a)=0\,

A\sin(ka)=0\,

A\ne 0\mbox{ , }\sin(ka)=0\,

ka=n\pi\ \mbox{ , }k=\frac{n\pi}{a}


\mbox{(II)}\, denklemi ile karşılaştırılırsa


\frac{2mE}{\hbar^2}=k^2=\frac{n^2\pi^2}{a^2}

E_n=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2ma^2}\mbox{ , } n=1,2,3...


elde edilir. Böylece bağlı durumdaki parçacıkların enerjilerinin kuantalandığı gösterilmiş olur zira parçacığın enerji seviyeleri E_0=\frac{\pi^2\hbar^2}{2ma^2} olmak üzere bu enerjinin tam katlarıdır. E_n = n^2E_0 \mbox{ , } n=1,2,3...\,

Diğer bir deyişle kuyudaki parçacığın enerjisi iki enerji seviyesi arasındaki enerjiyi alamaz. Bu yüzden enerjide süreksizlik vardır, bu duruma enerjinin kuantalanması denir.