Dirac-Delta fonksiyonu

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Tek boyutta delta fonksiyonu \delta(x-x_0) = \begin{cases}   \infty, & x=x_0 \\ 0, & x \neq x_0 \end{cases} şeklinde tanımlıdır. Bu gösterime uyacak bütün matematik temsillerine delta fonksiyonu veya delta fonksiyonunun temsili denir. Delta fonksiyonu n boyuta genellenebilir. Gösterimi ise \delta^n(\vec x-\vec x_0) şeklinde olur. Burada x ve x0 n boyutlu vektörlerdir. Diğer taraftan n boyutta delta fonksiyonu her bir boyuttaki delta fonksiyonlarının çarpımı şeklinde de yazılabilir. Örneğin 3 boyutta \delta^3(\vec x-\vec x_0)=\delta(x-x_0)\delta(y-y_0)\delta(z-z_0)

Dirac-Delta fonksiyonu basamak fonksiyonunun türevidir. \delta (x)=\frac{d}{dx}H(x)

Delta fonksiyonunun bazı özellikleri:

  • \int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-x_0)dx=f(x_0)
  • \delta(kx)=\frac{1}{|k|}\delta(x)
  • \delta(u(x))=\sum_i\frac{\delta(x-x_i)}{|u'(x_i)|} burada xi, u(x) fonksiyonunun kökleridir.

Bazı delta temsilleri:

  • \delta(x)= \lim_{\epsilon\to 0} \frac{\epsilon}{x^2+\epsilon^2}
  • \delta(x)= \lim_{\sigma\to 0}   \frac{1}{2\sigma}e^{-\frac{x^2}{4\sigma^2}}
  • \delta(x)= \lim_{\epsilon\to 0} \frac{1}{x}\sin\left (\frac{x}{\epsilon}\right )

Bu temsillerin normalizasyon katsayıları kontür integrali alınarak bulunabilir. \frac{1}{2\pi i}\oint_{C}\delta(z)dz=1