Legendre denklemi

Vikipedi, özgür ansiklopedi

Legendre diferansiyel denklemi [-1,1] aralığında tanımlı, ±1 noktalarında kaldırılabilir tekilliğe sahip bir denklemdir. Kapalı formu şu şekilde gösterilir.


Ly = 0\,


Burada L, Legendre operatörüdür.


L = {d \over dx }(1 - x^2){d \over dx }+l(l+1)\, ; l \in (0,\mathbb{Z}^+)


Denklem Frobenius yöntemi ile, p=0 alınarak çözülürse.


y= \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n
y' = \sum_{n=0}^{\infty}n a_n x^{n-1}
y'' = \sum_{n=0}^{\infty}n(n-1) a_n x^{n-2}


ifadeleri denklemde yerlerine koyularak,


Ly\, = \big(1-x^2)y'' -2xy'+l(l+1)y
=(1-x^2)\sum_{n=0}^{\infty}n(n-1) a_n x^{n-2}         - 2x\sum_{n=0}^{\infty}n a_n x^{n-1}        + l(l+1)\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n
=\sum_{n=0}^{\infty}\left[-n(n-1)-2n+l(l+1)\right] a_n x^n        + \sum_{n=0}^{\infty}n(n-1) a_n x^{n-2}
=\sum_{n=0}^{\infty}\left[l^2-n^2+l-n\right]a_n x^n        + \sum_{n=-2}^{\infty}(n+2)(n+1) a_{n+2} x^n
=\sum_{n=0}^{\infty}\left[(l+n+1)(l-n)a_n + (n+2)(n+1)a_{n+2}\right]x^n
=0\,


Bu eşitlikten çıkan karakteristik denklem ise:


a_2 = -{l(l+1) \over 2} a_0


olur. Genellenirse


a_{n+2} = -{(l+n+1)(l-n) \over (n+2)(n+1)}a_n


Bu şekilde geriye dönerek tekrarlanarak çözüm bulunur. Çözümün sonlu olabilmesi için


\lim_{n \to \infty}\left|{a_{n+2}x^{n+2} \over a_nx^n}\right|<1


şartı sağlanması gerektiğinden, karakteristik denklem yardımıyla elde edilen çözümün sonlu olması ancak


n =-l \mbox { veya } n = -(l+1)\,


şeklinde serinin kesilmesi ile olur. Bu şekilde oluşan polinomlara Legendre Polinomları denir, dolayısıyla bu polinomlar Legendre diferansiyel denkleminin çözümüdür.