Kutupsal koordinat sistemi
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Matematikte kutupsal koordinat sistemi veya polar koordinat sistemi, noktaların birer açı ve Kartezyen koordinat sistemindeki orijinin eşdeğeri olup "kutup" olarak bilinen bir merkez noktaya olan uzaklıklar ile tanımlandığı, iki boyutlu bir koordinat sistemidir. Kutupsal koordinat sistemi, matematik, fizik, mühendislik, denizcilik, robot teknolojisi gibi birçok alanda kullanılır. Bu sistem, iki nokta arasındaki ilişkinin açı ve uzaklık ile daha kolay ifade edilebildiği durumlar için özellikle kullanışlıdır. Kartezyen koordinat sisteminde, böyle bir ilişki ancak trigonometrik formüller ile bulunabilir. Kutupsal denklemler çoğu eğri tipi en kolay, bazıları içinse yegane tanımlama yöntemidir.
Konu başlıkları |
[değiştir] Tarihçesi
Antik Yunan uygarlığı'nda açı ve yarıçap kavramlarının kullandığı bilinmektedir. Gök bilimci Hiparkus (190 - 120 MÖ), her bir açı için kiriş uzunluklarını veren bir kiriş fonksiyonları tablosu oluşturmuştur ve yıldızların konumlarını belirlemek için kutupsal koordinatlar kullandığına ilişkin kaynaklar bulunmaktadır.[1] "Spiraller Üzerine" (On Spirals) adlı eserinde Arşimet, ünlü spiralini yarıçapın açıya bağlı olduğu bir fonksiyon olarak tanımlar. Bununla beraber, Yunan çalışmaları tüm bir koordinat sistemine erişmemiştir.
Kutupsal koordinatları ilk olarak kimin resmi bir koordinat sisteminin bir parçası olarak tanımladığına ilişkin farklı söylemler vardır. Konu ile ilgili tüm tarihçe, Harvard profesörü Julian Lowell Coolidge'in "Kutupsal Koordinatların Kaynağı" (Origin of Polar Coordinates) adlı kitabında anlatılmıştır.[2][3] Grégoire de Saint-Vincent ve Bonaventura Cavalieri yaklaşık aynı zamanda birbirinden bağımsız olarak kavramları oluşturmaya başlamıştır. Saint-Vincent çalışmalarını 1625 yılında yazmış ve 1647 yılında yayınlamışken, Cavalieri de 1635 yılında kendi çalışmalarının ilk baskısını yapıp, 1653 yılında elden geçirilmiş bir sürümünü yayınlamıştır. Bir Arşimet spirali içindeki alanla ilgili bir problemin çözümünde kutupsal koordinat sisteminden ilk yararlanan Cavalieri olmuştur. Daha sonra Blaise Pascal, parabolik yayların uzunluğunu hesaplamak için kutupsal koordinatları kullanmıştır.
1671 yılında yazılmış ve 1736 yılında basılmış olan Method of Fluxions çalışmasıyla Isaac Newton, kutupsal koordinatlara bir düzlemdeki herhangi bir noktanın yerini saptama yöntemi olarak bakan ilk kişi olmuştur. Newton, kutupsal koordinatlar ve diğer dokuz koordinat sistemi arasındaki dönüşümleri incelemiştir. Acta eruditorum (1691) adlı çalışmasında Jacob Bernoulli, sırasıyla kutup ve kutupsal eksen olarak adlandırdığı bir nokta ve o noktanın üzerinde yer aldığı eksenden oluşan bir sistem kullanmıştır. Bu sistemde koordinatlar, kutba göre uzaklık ve kutup eksenine göre açı ile belirtilmiştir. Bernoulli'nin çalışması, bu koordinatlarla tanımlanmış eğrilerin eğim yarıçaplarını hesaplamaya kadar ilerlemiştir.
Gregorio Fontana'ya atfedilmiş olan kutupsal koordinatlar terimi, 18. yüzyıl İtalyan yazarları tarafından kullanılmıştır. Terimin İngilizce yayınlarda ilk yer alışı, George Peacock'ın Sylvestre François Lacroix'ya ait "Diferansiyel ve İntegral Hesaplamalar" (Differential and Integral Calculus) adlı kitabını çevirmesi ile 1816 yılında olmuştur.[4][5][6]
Alexis Clairaut ve Leonhard Euler, kutupsal koordinat kavramının üç boyuta uyarlanmasında rol oynamışlardır.
[değiştir] Kutupsal koordinatlar ile noktaların belirtilmesi
Tüm iki boyutlu koordinat sistemlerinde olduğu gibi, kutupsal koordinat sisteminde de iki koordinat vardır: r ("radyal koordinat" ya da "ışınsal koordinat") ve θ ("açısal koordinat", "kutupsal açı" ya da "yatay açı" ; bazen φ veya t ile gösterilir). r koordinatı, kutuptan olan ışınsal uzaklığı; θ koordinatı ise noktanın üzerinde bulunduğu ışının, bazen "kutupsal eksen" de denilen 0° ışınından saat yönünün tersi yönündeki açısını ifade eder. 0° ışını, Kartezyen koordinat sisteminde "pozitif x ekseni" olarak bilinir. [7]
Örneğin, kutupsal koordinatları (3, 60°) olan bir nokta, kutupsal eksene 60° açı ile duran ışın üzerinde kutuptan 3 birim uzaklıkta bulunur. Koordinatları (−3, 240°) olan nokta da aynı yerde gösterilecektir çünkü bir negatif ışınsal uzaklık, karşıt ışın üzerinde pozitif uzaklık olarak ölçülür (240° − 180° = 60°).
Kutupsal koordinat sisteminin Kartezyen koordinat sisteminde bulunmayan bir önemli özelliği, belli bir noktanın sonsuz sayıda farklı koordinat ile belirtilebilmesidir. Genel olarak, n herhangi bir tam sayı olmak üzere, herhangi bir (r, θ) noktası (r, θ ± n×360°) veya (−r, θ ± (2n + 1)180°) olarak gösterilebilir.[8] Eğer bir noktanın r koordinatı 0 ise, o nokta θ koordinatından bağımsız olarak kutup üzerinde bulunur.
[değiştir] Radyan ölçüsünün kullanımı
Kutupsal sistemde açılar, genel olarak ya derece ya da radyan cinsinden ifade edilir ve bunun için de 2π rad = 360° dönüşümü kullanılır. Seçim çoğunlukla ihtiyaca bağlıdır: denizcilik uygulamalarında derece ölçüsü kullanılırken, özellikle dönüş mekaniği gibi bazı fizik uygulamalarında ise dairenin çevresinin (c) yarıçapına (r) oranına dayanan radyan ölçüsü kullanılır (c = 2πr).[9]
[değiştir] Kutupsal ve kartezyen koordinatlar arası dönüşüm
Kutupsal koordinatlar r ve θ şu şekilde kartezyen koordinatlara dönüştürülebilir.
Bu iki formüle göre x ve y cinsinden elde edilen dönüşüm formülleri ise şöyledir:
Eğer x = 0 ve
- y pozitifse, θ = 90° (π/2 rad);
- y negatifse, θ = 270° (3π/2 rad) olur.
[değiştir] Kutupsal denklemler
Kutupsal koordinatlar ile ifade edilmiş bir eğri denklemi "kutupsal denklem" olarak bilinir ve genellikle r, θ'nın bir fonksiyonu olarak yazılır.
Kutupsal denklemler değişik simetri biçimleri gösterebilir. Bir eğri,
- eğer r(−θ) = r(θ) ise 0°/180° yatay ışınına göre,
- eğer r(π−θ) = r(θ) ise 90°/270°dikey ışınına göre ve
- eğer r(θ−α) = r(θ) ise de saat yönünün tersinde α° kadar rotasyonel (dönel) olarak kutup noktasına göre
simetrik olacaktır.[11]
[değiştir] Çember
Merkezi (r0, φ) noktasında ve yarıçapı a olan herhangi bir çemberin genel denklemi şu şekildedir:
Bu denklem özel durumlar için çeşitli yollarla basitleştirilebilir. Örneğin
,
merkezi kutup noktasında ve yarıçapı a olan çember için yazılmış denklemdir.[12]
[değiştir] Doğru
Kutuptan geçen ışınsal doğrular şu denklemle gösterilir:
Burada φ doğrunun eğim açısıdır ki, m'nin Kartezyen koordinat sistemindeki eğimi temsil ettiği
denklemi ile de ifade edilebilir.
Kutup noktasından geçmeyen herhangi bir doğru, ışınsal bir doğruya diktir.[13] θ = φ doğrusunu (r0, φ) noktasında dik kesen doğrunun denklemi ise şöyledir:
.
[değiştir] Kutupsal gül
Kutupsal gül, taç yapraklı bir çiçeği andıran ve sadece kutupsal bir denklem ile ifade edilebilen ünlü bir matematiksel eğridir. Şu denklemlerle tanımlanır:
VEYA
.
a değişkeninin gülün yapraklarının uzunluğunu ifade ettiği bu denklemlerde eğer k bir tamsayı ise, k tek sayı olduğunda bu denklemler ile k-yapraklı bir gül ve çift sayı olduğundaysa 2k-yapraklı bir gül elde edilir. Eğer k tam sayı değilse, yaprak sayısı da tamsayı olmayacağı için, bir daire şekli oluşur. Dikkat edilmesi gereken nokta, bu denklemlerle 4'ün katlarının 2 fazlası (2, 6, 10, 14, ...) kadar sayıda taç yaprak elde etmenin mümkün olmadığıdır.
[değiştir] Arşimet spirali
Arşimet spirali, Arşimet tarafından keşfedilmiş ve gene yalnızca bir kutupsal denklem ile tanımlanabilen, ünlü bir spiraldir. Şu denklemle ifade edilir:
.
a değişkeninin değişimi spirali döndüdürken, b değişkeni spiralin kolları arasındaki daima sabit olan uzaklığı kontrol eder. Arşimet spirali, θ > 0 ve θ < 0 değerleri için iki kola sahiptir. İki kol kutup noktasında birbirine düzgün bir biçimde bağlanır. Kollardan birinin 90°/270° doğrusu üzerinden ayna simetrisi alınırsa, diğer kol elde edilir.
[değiştir] Konik kesitler
Büyük ekseni kutupsal eksen (0° ışını) üzerinde, bir odağı kutup noktasında ve diğer odağı da kutupsal eksen üzerindeki başka bir noktada bulunan bir konik kesit şu kutupsal denklem ile tanımlanır:
.
Burada e eksantriklik ve l de (semi-latus rectum) büyük eksene dik olarak bir odaktan eğriye kadar ölçülen uzaklıktır. Denklem; e >; 1 ise bir hiperbol, e = 1 ise bir parabol ve e < 1 ise bir elips oluşturur. e < 1 koşulunun özel bir durumu olarak e = 0 ise, yarıçapı l olan bir çember elde edilir.
[değiştir] Diğer eğriler
Kutupsal koordinat sisteminin dairesel özelliği, bir çok eğrinin Kartezyen biçimdense kutupsal bir denklemle çok daha kolay tanımlanmasını sağlar. Bu eğrilerin arasında lemniskatlar, ilmek eğrileri (limaçonlar) ve özel bir tip limaçon olan kardiyoidler vardır.
[değiştir] Karmaşık sayılar
Karmaşık sayılar (kompleks sayılar), a + bi olarak düzlemsel biçimde yazılmıştır, kutupsal biçimde ifade etmenin iki yolu vardır:
, kısaltılarak
elde edilen bu eşitlik Euler formülü'dür.[14]
Kutupsal ve düzlemsel karmaşık sayılar arasındaki dönüşümü sağlamak için, aşağıdaki dönüşüm formülleri kullanılır:
- ve bu ifadelerden
elde edilir.
Çarpım, bölüm ve üslü işlemler ve karmaşık sayıların köklerinin bulunması için kutupsal karmaşık sayıları kullanmak, düzlemsel karmaşık sayıları kullanmaktan daha kolaydır.
Kısaltılmış olarak şu ifadeler yazılabilir:
- Çarpım:
- Bölüm:
- Üslü ifadeler (De Moivre formülü):
[değiştir] Vektörel hesaplamalar
Hesaplamalar, denklemlerin kutupsal koordinatlar içinde ifade edilmesi ile bu koordinatlarda uygulanabilir. , r ve θ t zamanına bağlı olmak üzere
pozisyonundaki vektör olsun,
,
yönündeki birim vektör ve
,
için uygun açılardaki birim vektör olsun. Konumun birinci ve ikinci türevleri şunlardır:
.
eğri üzerindeki bir noktayı odak alarak çizilen çizginin sürürdüğü alan olarak alındığında, limit içinde
,
ve
tarafından şekillendirilmiş paralelkenar alanının yarısıdır,
,
ve toplam alan 'nın zamana göre integralinin alınması ile bulunur.
[değiştir] Uygulamalar
[değiştir] Kepler'in gezegensel hareket kanunları
Kutupsal koordinatlar doğası gereği, Kepler'in gezegensel hareket kanunlarının ifade edilmesini sağlar. Kepler'in birinci kanununa göre, güneş sistemindeki tüm gezegenler, güneş etrafında odaklarından biri güneş olan elips şeklindeki bir yörüngede dolaşır. Bu elips ile ilgili denklem, konik kesitler bölümünde ifade edilmiş olan denklemdir.
Kepler'in ikinci kanunu olan eşit alanlar kanunu ise şunu ifade eder; bir gezegenin yörüngesinde dolaşması esnasında, eşit zaman aralıklarında taradığı alanlar birbirine eşittir, yani sabittir. Bu denklemler Newton'un hareket kanunlarından elde edilebilir.
[değiştir] Üç boyut
Kutupsal koordinat sistemi, iki farklı koordinat sistemi ile (silindirik ve küresel koordinatlar) üç boyut içine yayılır.
[değiştir] Silindirik koordinatlar
Silindirik koordinat sistemi, aslında iki boyutlu kutupsal koordinat sistemine, düzlem üzerindeki bir noktanın yüksekliğinin ölçülmesi için üçüncü bir koordinat eklenmesi ile geliştirilmiş bir koordinat sistemidir, kartezyen koordinat sistemini üç boyuta genişletmek için kullanılan yönteme benzer bir yoldur. Üçüncü koordinat genelde h ile gösterilir; buna göre silindirik koordinatlar r, θ ve h olarak ifade edilir.
Bu üç silindirik koordinatın kartezyen koordinatlara dönüşümü şu şekilde olur.
[değiştir] Küresel koordinatlar
Kutupsal koordinatlar, (ρ, φ, θ) koordinatları kullanılarak da üç boyuta genişletilebilir, burada ρ kutup noktasından olan mesafe, φ z-ekseninden olan açı ve θ x-ekseninden olan açı değeridir. Küresel koordinat sistemi olarak adlandırılan bu sistem, Dünya için kullanılan enlem ve boylam sistemine benzerdir. (δ = 90° − φ eşitliğinden belirlenmiş φ ile oluşan enlem ve l = θ − 180° ile saptanmış boylam)[15]
Küresel koordinat sistemini oluşturan üç koordinatın, kartezyen sisteme dönüşümü şu şekildedir.
[değiştir] Ayrıca bakınız
[değiştir] Diğer koordinat sistemleri
- Koordinat sistemi
- Kartezyen koordinat sistemi
- Silindirik koordinat sistemi
- Eğrisel koordinatlar
- Ortogonal koordinatlar
- Eliptik koordinatlar
- Hiperbolik koordinatlar
- Stereografik izdüşüm
- Paralel koordinatlar
- Yermerkezli koordinatlar
[değiştir] Kaynaklar
[değiştir] Referanslar
- ↑ Friendly, Michael. Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization.
- ↑ The MacTutor History of Mathematics archive: Coolidge's Origin of Polar Coordinates
- ↑ Coolidge, Julian Lowell (1952). "The Origin of Polar Coordinates". American Mathematical Monthly 59: 78-85.
- ↑ Daniel Klaasen. Historical Topics for the Mathematical Classroom.
- ↑ Miller, Jeff. Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics.
- ↑ Smith, David Eugene (1925). History of Mathematics, Vol II. Ginn and Co..
- ↑ Brown, Richard G. (1997). Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis. McDougal Littell Inc.. ISBN 0-395-77114-5.
- ↑ Polar Coordinates and Graphing (2006-04-13).
- ↑ Serway, Raymond A. ve Jewett, Jr., John W. (2005). Principles of Physics. Brooks/Cole—Thomson Learning. ISBN 0-534-49143-X.
- ↑ Mathworld-Polar Coordinates
- ↑ Mathworld-Polar Coordinates
- ↑ Polar coordinates.
- ↑ Ward, Robert L.. Analytic Geometry: Polar Coordinates.
- ↑ Smith, Julius O. (2003). Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT). W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7.
- ↑ Wattenberg, Frank (1997). Spherical Coordinates.