Bổ đề Borel-Cantelli

Bách khoa toàn thư mở Wikipedia

Bổ đề Borel-Cantelli được phát biểu vào nửa đầu thế kỉ 20, được mang tên nhà toán học Pháp Emile Borel và nhà toán học Ý Francesco Palo Cantelli. Bổ đề này thường được dùng trong lý thuyết xác suất. Nó còn được gọi là tiêu chuẩn Borel cho luật không-một.

Lý thuyết này đề cập tới dãy các biến cố. Trong một tương đối tổng quát hơn, nó cũng là một kết quả trong lý thuyết độ đo (measurre theory).

[sửa] Phát biểu

Cho (En) là một dãy các biến cố trong không gian xác suất, bổ đề Borel-Cantelli cho rằng:

Nếu tổng các xác suất của En là hữu hạn
\sum_{n=1}^\infty \Pr(E_n)<\infty,
thì xác suất để chúng xảy ra vô hạn là bằng không, nghĩa là
\Pr\left(\limsup_{n\to\infty} E_n\right) = 0.\,

Ở đây, limsup là kí hiệu của giới hạn trên. Lưu ý rằng không cần có giả thiết về sự độc lập (của các biến cố). Pr(X) là xác xuất của biến cố X.

[sửa] Thí dụ

Giả sử (Xn) là dãy các biến ngẫu nhiên, với Pr(Xn = 0) = 1/n2 cho mọi n. Thế thì tổng của Pr(Xn = 0) là hữu hạn (thật ra nó là π2/6 - xem Hàm Riemann zeta), thì bổ đề Borel-Cantelli kết luận rằng xác suất để Xn = 0 xảy ra một số nhiều vô hạn các n là bằng 0.