Số (toán học)
Bách khoa toàn thư mở Wikipedia
|
- Số là một khái niệm trong toán học sơ cấp, đã trở thành một khái niệm phổ cập. Khởi đầu trong lịch sử toán học của loài người, số là cách thức con người ghi lại số lượng các đối tượng như công cụ sản xuất, súc vật chăn nuôi... Các dân tộc khác nhau có cách kí hiệu khác nhau , mỗi kí hiệu thường được gọi là một chữ số, hay một con số, ngày nay thường được gọi là ký số. Người ta ghép các chữ số khác nhau vào theo những quy ước nhất định để tạo thành các số. Ngày nay còn lại phổ biến là cách ghi số của người Arập (0,1,2...,9), La-mã (I,V,X, L, C,..), Trung Quốc(....). Ngày nay số đã trở thành một trong các khái niệm cơ bản của toán học, là đối tượng nghiên cứu của hầu hết các phân ngành của toán học như Lý thuyết số, Giải tích, Đại số, Xác suất thống kê,..
[sửa] Các loại số
Các số có thể phân chia thành các tập hợp số theo các hệ thống số khác nhau.
[sửa] Số tự nhiên
Loại số quen thuộc nhất với hầu như tất cả mọi người là số tự nhiên, trước kia nó được hiểu như số nguyên dương (không kể số không), nhưng ngày nay đa số các tài liệu toán học thống nhất nó bao gồm cả số không( số nguyên không âm). Các số nguyên dương được xem như là các số để đếm.
Trong hệ đếm cơ số mười được dùng rộng rãi, các ký hiệu dùng để viết số tự nhiên là các chữ số từ 0 đến 9. Trong hệ ghi số cơ số 10, mỗi vị trí tương ứng với một lũy thừa của 10, các số lớn hơn 9 được biểu diễn bởi hai hoặc nhiều hơn các chữ số. Còn có thể ghi theo các hệ cơ số khác như cơ số 2, 8, 16,... Tập các số tự nhiên dược ký hiệu là
[sửa] Số nguyên
Số nguyên bao gồm các số tự nhiên và các số đối của các số tự nhiên dương.Số đối của một số tự nhiên dương nlà một số khi cộng với n cho kết quả không, nó thường được viết bằng cách thêm dấu "trừ" đằng trước số n. Về ý nghĩa, nếu một số dương là một khoản tiền gửi ngân hàng thì số âm là số biểu thị khoản tiền rút ra. Tập các số nguyên được ký hiệu là (German Zahl, plural Zahlen).
[sửa] Số hữu tỷ
Một số hữu tỷ là một số có thể biểu diễn như một thương (hay phân số) của phép chia một số nguyên cho một số tự nhiên khác 0. Thương m/n diễn tả việc chia một khối lượng nào đó thành n phần bằng nhau, và chọn lấy m phần. Hai phân số khác nhau có thể biểu diễn cho cùng một số, chẳng hạn ½ và 2/4 là như nhau. Nếu giá trị tuyệt đối của m lớn hơn n thì giá trị tuyệt đối của phân số lớn hơn một. Phân số có thể dương âm hoặc bằng 0.
[sửa] Số thực
Các số hữu tỷ (các phân số trong đó
,
) không đủ dùng để biểu diện các độ đo trong hình học, chẳng hạn độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh là 1 là
. Có thể chứng minh rằng, không có số hữu tỷ nào bình phương bằng 2.
Tổng quát hơn, người ta mở rộng tập hợp số hữu tỷ thành tập hợp số trong đó mọi dãy Cauchy đều có gới hạn, tập hợp đó được gọi là tập hợp số thực.
(Dãy {xn}n được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi số r > 0 tòn tại số nguyên dương N sao cho với mọi m,n > N luôn có | xm − xn | < r.)
Các số thực biểu diễn được dưới dạng phân số được gọi là các số hứu tỷ(rational). Các số thực không biểu diễn được dưới dạng phân số được gọi là các số vô tỷ (irrational).
Tập các số thưc được ký hiệu là , tập các số vô tỷ là
.
Như vậy và
.
Tập các số thực còn được phân chia thành tập các số đại số và tập các số siêu việt.
[sửa] Số phức
Tập các số phức là mở rộng đại số của tập các số thực với việc bổ sung một số mới là căn bậc hai của - 1, số này được gọi là đơn vị ảo và kí hiệu là i. Khi đó tập các số phức là tập các số dạng z=a+b.i.
Trong tập các số phức, mọi phương trình đại số bậc n có đúng n nghiệm.
Tập các số phức được ký hiệu là , như vậy quan hệ bào hàm giữa các tập hợp số đã biết là: