Tabela integrala

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Oblasti u kalkulusu

Fundamentalna teorema
Limes funkcije
Kontinuitet
Vektorska algebra
Tenzor
Teorem srednje vrijednosti

Diferencijacija

Derivacija proizvoda
Derivacija količnika
Derivacija složene funkcije
Implicitna diferencijacija
Taylorova teorema
Tablica izvoda

Integracija

Spisak integrala
Nepravi integrali
Parcijalna integracija
Integracija metodom substitucije
Trigonometrijska substitucija

Ovaj članak prikazuje spisak nekih najčešćih antiderivacija; kompletniju listu možete pronaći na članku spisak integrala.

Sadržaj

[uredi] Osnovna pravila integriranja

\int af(x)\,dx = a\int f(x)\,dx \qquad\mbox{(}a \mbox{ constant)}\,\!
\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx
\int f(x)g(x)\,dx = f(x)\int g(x)\,dx - \int \left[f'(x) \left(\int g(x)\,dx\right)\right]\,dx
\int [f(x)]^n f'(x)\,dx = {[f(x)]^{n+1} \over n+1} + C \qquad\mbox{(for } n\neq -1\mbox{)}\,\!
\int  {f'(x)\over f(x)}\,dx= \ln{\left|f(x)\right|} + C
\int  {f'(x) f(x)}\,dx= {1 \over 2} [ f(x) ]^2 + C

[uredi] Integrali prostih funkcija

[uredi] Racionalne funkcije

Više na: Spisak integrala racionalnih funkcija
\int \,{\rm d}x = x + C
\int x^n\,{\rm d}x =  \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\qquad\mbox{ if }n \ne -1
\int {dx \over x} = \ln{\left|x\right|} + C
\int {dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\arctan {x \over a} + C

[uredi] Iracionalne funkcije

Više na: Spisak integrala iracionalnih funkcija
\int {dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \sin^{-1} {x \over a} + C
\int {-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \cos^{-1} {x \over a} + C
\int {dx \over x \sqrt{x^2-a^2}} = {1 \over a} \sec^{-1} {|x| \over a} + C

[uredi] Logaritmi

Više na: Spisak integrala logaritamskih funkcija
\int \ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C
\int \log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C

[uredi] Eksponencijalne funkcije

Više na: Spisak integrala eksponencijalnih funkcija
\int e^x\,dx = e^x + C
\int a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

[uredi] Trigonometrijske funkcije

Više na: Spisak integrala trigonometrijskih funkcija i Spisak integrala arkusnih funkcija
\int \sin{x}\, dx = -\cos{x} + C
\int \cos{x}\, dx = \sin{x} + C
\int \tan{x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C
\int \cot{x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C
\int \sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \tan{x}\right|} + C
\int \csc{x} \, dx = \ln{\left| \csc{x} - \cot{x}\right|} + C
\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C
\int \csc^2 x \, dx = -\cot x + C
\int \sec{x} \, \tan{x} \, dx = \sec{x} + C
\int \csc{x} \, \cot{x} \, dx = - \csc{x} + C
\int \sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C
\int \cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C
\int \sin^n x \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \sin^{n-2}{x} \, dx
\int \cos^n x \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int \cos^{n-2}{x} \, dx
\int \tan^{-1}{x} \, dx = x \, \arctan{x} - \frac{1}{2} \ln{\left| 1 + x^2\right|} + C

[uredi] Hiperboličke funkcije

Više na: Spisak integrala hiperboličkih funkcija
\int \sinh x \, dx = \cosh x + C
\int \cosh x \, dx = \sinh x + C
\int \tanh x \, dx = \ln |\cosh x| + C
\int \mbox{csch}\,x \, dx = \ln\left| \tanh {x \over2}\right| + C
\int \mbox{sech}\,x \, dx = \arctan(\sinh x) + C
\int \coth x \, dx = \ln|\sinh x| + C

[uredi] Inverzne hiperboličke funkcije

\int \sinh^{-1} x \, dx  = x \sinh^{-1} x - \sqrt{x^2+1} + C
\int \cosh^{-1} x \, dx  = x \cosh^{-1} x+ \sqrt{x^2-1} + C
\int \tanh^{-1} x \, dx  = x \tanh^{-1} x+ \frac{1}{2}\log{(1-x^2)} + C
\int \mbox{csch}^{-1}\,x \, dx = x \mbox{csch}^{-1}\ x+ \log{\left[x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x^2}} + 1\right)\right]} + C
\int \mbox{sech}^{-1}\,x \, dx = x \mbox{sech}^{-1}\ x- \tan^{-1}{\left(\frac{x}{x-1}\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}\right)} + C
\int \coth^{-1} x \, dx  = x \coth^{-1} x+ \frac{1}{2}\log{(x^2-1)} + C

[uredi] Određeni nepravi integrali

Postoje funkcije čiji se integrali ne mogu predstaviti u zatvorenom intervalu (integral [a,b]).

\int_0^\infty{\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi (takođe pogledajte Gama funkcija)
\int_0^\infty{e^{-x^2}\,dx} = \frac{1}{2}\sqrt \pi (Gausov integral)
\int_0^\infty{\frac{x}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^2}{6} (takođe pogledajte Bernulijev broj)
\int_0^\infty{\frac{x^3}{e^x-1}\,dx} = \frac{\pi^4}{15}
\int_0^\infty\frac{\sin(x)}{x}\,dx=\frac{\pi}{2}
\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot n}\frac{\pi}{2} (if n is an even integer and   \scriptstyle{n \ge 2})
\int_0^\frac{\pi}{2}\sin^n{x}\,dx=\int_0^\frac{\pi}{2}\cos^n{x}\,dx=\frac{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cdots \cdot (n-1)}{3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot \cdots \cdot n} (if  \scriptstyle{n} is an odd integer and   \scriptstyle{n \ge 3} )
\int_0^\infty  x^{z-1}\,e^{-x}\,dx = \Gamma(z) (gdje je Γ(z) gama funkcija)
\int_{-\infty}^\infty e^{-(ax^2+bx+c)}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\exp\left[\frac{b^2-4ac}{4a}\right] (gdje je exp[u] eksponencijalna funkcija eu.)
\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x) (gdje je I0(x) modificirana Beselova funkcija prve vrste)
\int_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \sqrt{x^2 + y^2}

[uredi] "Sofomorov san"

\sum_{n=1}^\infty n^{-n} = \int_0^1 x^{-x}\, dx\quad\quad(=1.291285997\dots)
\sum_{n=1}^\infty -(-1)^nn^{-n} = \int_0^1 x^{x}\, dx\quad\quad(= 0.783430510712\dots)

(Pogledajte Johann Bernoulli i sofomorov san).