Sabiranje i množenje racionalnih brojava

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Za sabiranje dva racionalna broja vrijedi definicija (a,b) + (c,d) = (ad + bc, bd); a za množenje (a,b) (c,d)) = (ac, bd)

Teorema 1

(Q, +) je komutativna grupa*

  • komutacija

(a,b) + (c,d ) = (ad +bc, bd) = (cb +da, db) = (c,d) + (a ,b)

  • asocijacija

[ (a,b) + (c,d) ] + (e ,f) = (a,b) + [(c,d) + (e,f)]

  • neutralni element

(a,b) + (0,1) =(a,b)

  • inverzni element

(a,b) + (-a,b) = ( 0,b) < => (0,1)

(Q, x) je komutativna polugrupa

  • komutacija

(a,b) (c,d) = (ac,bd) = (c,d) (a,b)

  • asocijacija

[ (a,b) (c,d) ] (e ,f) = (a,b) [(c,d) (e,f)]


  • neutralni element

(a,b) (1,1) =(a,b)


Teorema 2

Svaki racionalni broj različit od 0 ima multiplukativni invers

(a, b) (b,a) = (1 ,1 )

Korolar

U skupu Q vrijedi zakon kancelacije

Ako jednakost

(a, b) )m,n) = (c, d) (m,n) pmnožimo sa (n,m) dobijamo ( a,b) = ( c,d)

Za (Q, ,x) vrijedi zakon distribucije množenja u odnosu na sabiranje


[ (a,b) + (c,d) ] (e ,f) = (a,b) ((e,f) + (c,d) (e,f)


Definicija 1


Područje cjelosti ( F, +, x) u kojem svaki element razlišit od 0 ima multiplikativni invers zovemo polje.


Multiplikativni element (a,b) označavamo sa ( a/b) na (-1) : ) 0,1) je jedini element iz Q nema unvers