Pravilo derivacije količnika

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Oblasti u kalkulusu

Fundamentalna teorema
Limes funkcije
Kontinuitet
Vektorska algebra
Tenzor
Teorem srednje vrijednosti

Diferencijacija

Derivacija proizvoda
Derivacija količnika
Derivacija složene funkcije
Implicitna diferencijacija
Taylorova teorema
Tablica izvoda

Integracija

Spisak integrala
Nepravi integrali
Parcijalna integracija
Integracija metodom substitucije
Trigonometrijska substitucija

U kalkulusu, pravilo derivacije količnika je metoda izračunavanja derivacije funkcije koja je prikazana kao količnik druge dvije funkcije za koje derivaicja postoji.

Ako je funckija f(x) ta koju deriviramo, može se pisati kao:

f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}

gdje je h(x)0, tada je derivacija fnkcije g(x) / h(x) jednaka:

\frac{d}{dx}f(x) = f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{{h(x)}^2}.

Ili, prezicnije, za svako x u nekom otvorenom intervalu, a koje sadrži a, uz h(a)0; i da postoje i g'(a) i h'(a); tada, f'(a) takođe postoji:

f'(a)=\frac{g'(a)h(a) - g(a)h'(a)}{h(a)^2}.

[uredi] Primjeri

Derivacija od (4x − 2) / (x2 + 1) je:

\frac{d}{dx} \frac{(4x - 2)}{x^2 + 1} =\frac{(x^2 + 1)(4) - (4x - 2)(2x)}{(x^2 + 1)^2}
=\frac{(4x^2 + 4) - (8x^2 - 4x)}{(x^2 + 1)^2}
=\frac{-4x^2 + 4x + 4}{(x^2 + 1)^2}

U gornjem primjeru, odabrali smo

g(x) = 4x − 2
h(x) = x2 + 1

Analogijski, derivacija sin(x) / x2 (kada je x ≠ 0) je:


\frac{\cos(x) x^2 - \sin(x)2x}{x^4}

Za više informacija o derivacijama trigonometrijskih funkcija, pogledajte: Derivacija funkcije.

Drugi primjer je:

 f(x) = \frac{2x^2}{x^3}

gdje imamo g(x) = 2x2 i h(x) = x3, te g'(x) = 4x i h'(x) = 3x2.

Derivacija f(x) se računa na sljedeći način:

f'(x)\, =\frac {\left(4x \cdot x^3 \right) - \left(2x^2 \cdot 3x^2 \right)} {\left(x^3\right)^2}
=\frac{4x^4 - 6x^4}{x^6}
=\frac{-2x^4}{x^6}
=-\frac{2}{x^2}

[uredi] Dokaz

Pretpostavimo funkciju f(x) = g(x) / h(x)
gdje je h(x)≠ 0 i gdje su funkcije g i h diferencijabilne.
f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x + \Delta x)}{h(x + \Delta x)} - \frac{g(x)}{h(x)}}{\Delta x}
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x+\Delta x)}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{(g(x+\Delta x)h(x)-g(x)h(x))-(g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{1}{\Delta x} \left( \frac{h(x)(g(x+\Delta x)-g(x))-g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))}{h(x)h(x+\Delta x)} \right)
= \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}h(x)-g(x)\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}}{h(x)h(x+\Delta x)}
= \frac{\lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}\right)h(x) - g(x) \lim_{\Delta x \to 0} \left(\frac{h(x+\Delta x)-h(x)}{\Delta x}\right)}{h(x)h(\lim_{\Delta x \to 0} (x+\Delta x))}
= \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}

[uredi] Također pogledajte