Kosinusna teorema

Sa Wikipedije, slobodne enciklopedije

Kosinusna teorema se koristi za rješavanje trougla u trigonometrijskoj ravni:

\ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha, gdje je α ugao nasuprot stranice с.


U svakom trouglu je \ a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha, gdje je a ugao α nasuprot stranice

b^2=c^2+a^2-2ba\cos\beta,\; 

c^2=a^2+b^2-2ab\cos\beta. za ugao u vrhu С = γ=90°, zbog cos(90°)=0, imamo Poseban slučaj kosinusne teoreme je Pitagorina teorema. c2 = a2 + b2,.

Posljedice Kvadrat bilo koje stranice trougla manji je , jednak ili veći od zbira kvadrata ostale dvije stranice, zavisno da li je suprotni ugao oštar , prav ili tup

Dokaz

Ako je \alpha<90^o,\, onda je \cos\alpha > 0\, i a^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha <b^2+c^2.\, Ako je је \alpha=90^o,\, onda је \cos\alpha=0\, i c^2=a^2+b^2.\, Аkо је \alpha>90^o,\, ondа је \cos\alpha < 0\, i a^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha > b^2+c^2.\,

Važi i obrnuta teorema

Теорема

ugao trougla је оštar, рrаv, ili tup zavisno od toga da li je kvadrat suprotne stranice trougla redom je manji , jednak ili veći od zbira kvadrata ostale dvije stranice. Dokaz

Ako је a^2<b^2+c^2,\, onda je \cos\alpha>0,\, prema tome je \alpha < 90^o.\, Аko је a^2=b^2+c^2,\, onda je \cos\alpha=0,\, tј. \alpha=90^o.\, Ako је a^2>b^2+c^2,\, onda је \cos\alpha<0,\, tј. \alpha>90^o.\,