Maatriks
Allikas: Vikipeedia
See artikkel vajab toimetamist. |
Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mille ridade ja veergude lõikekohtades asuvad mingi fikseeritud hulga elemendid. Enamasti eeldatakse, et selle hulga elemente saab liita ja korrutada. Kõige sagedamini on selleks hulgaks reaal- või kompleksarvude hulk. Üldisemalt võib selleks hulgaks olla suvaline korpus või isegi assotsiatiivne ühikelemendiga ring.
Kui maatriksis on m rida ja n veergu, siis öeldakse, et tegemist on ()-indat järku maatriksiga või lihtsalt (
)-maatriksiga. Selline maatriks näeb välja järgmine:
Maatrikseid tähistatakse tavaliselt suurte ladina tähtedega. Maatriksit
esitatakse tihti lühidalt niinimetatud üldelemendi aij abil:
- A = (aij).
Sellise esituse puhul eeldatakse, et maatriksi ridade ja veergude arv (ehk maatriksi mõõtmed) on eelnevast teada (fikseeritud).
Arve (või ringi elemente), millest maatriks koosneb, nimetatakse selle maatriksi elementideks. Öeldakse, et element a asub maatriksis A kohal (i,j), kui ta asub maatriksi A i-nda rea ja j-nda veeru lõikekohal.
Sisukord |
[redigeeri] Näide
Maatriks
on ()-ndat järku maatriks. Kohal (2,3) asub selles maatriksis element a2,3 = 7.
[redigeeri] Tehted maatriksitega
See, et maatriksi elemendid on arvud (või mingi algebralise struktuuri elemendid) lubab defineerida tehteid maatriksitega. Defineeritavate tehete omadused sõltuvad sellest, millised on tehete omadused sellel algebralisel struktuuril, üle mille maatrikseid vaadeldakse. Näiteks kui vaadelda maatrikseid üle korpuse, siis osutub ()-maatriksite hulk vektorruumiks allpool defineeritud tehete suhtes.
Alljärgnevad definitsioonid on antud juhu jaoks, kui maatriksi elemendid on reaalarvud või mingi korpuse elemendid, kuid samad definitsioonid on kasutatavad ka maatriksite jaoks üle suvalise ringi.
[redigeeri] Liitmine
Kahe ()-maatriksi A = (aij) ja B = (bij) summa A+B on maatriks C = (cij), mis saadakse maatriksite A ja B vastavate elementide liitmisel, s.t. cij = aij + bij iga
ja
korral. Näiteks
[redigeeri] Skalaariga korrutamine
Maatriksi A = (aij) ja arvu (või korpuse elemendi) k korrutis kA on maatriks C = (cij), mis saadakse maatriksi A kõigi elementide korrutamisel k-ga, s.t. cij = kaij iga ja
korral. Näiteks
[redigeeri] Korrutamine
Kahte maatriksit saab korrutada ainult siis, kui esimese teguri veergude arv on võrdne teise teguri ridade arvuga. ()-maatriksi A = (aij) ja (
)-maatriksi B = (bij) korrutis on (
)-maatriks C = (cij), kus
iga ja
korral.
Näiteks
Maatriksite korrutamisel on järgmised omadused:
- (AB)C = A(BC) iga (
)-maatriksi A, (
)-maatriksi B ja (
)-maatriksi C korral ("assotsiatiivsus");
- (A + B)C = AC + BC iga (
)-maatriksi A ja B ning (
)-maatriksi C korral ("parempoolne distributiivsus");
- C(A + B) = CA + CB iga (
)-maatriksi A ja B ning (
)-maatriksi C korral ("vasakpoolne distributiivsus").
Maatriksite korrutamine ei ole kommutatiivne, s.t. kui maatriksite A ja B korrutised AB ja BA on olemas, siis üldiselt AB ≠ BA.