Zenbaki konplexu
Wikipedia(e)tik
Zenbakiak matematikan |
---|
Zenbaki multzoak |
![]() Zenbaki arruntak |
Konplexuen hedadurak |
Koaternioiak |
Bestelakoak |
Zenbaki kardinalak |
Zenbaki-sistemak |
Zenbaki-sistema hamartarra |
Zenbaki konplexuak zenbaki erreal pare batez osatutako zenbakiak dira, hurrengo eran idatz daitezkeenak:
non a eta b bi zenbaki erreal diren, zati erreala eta zati irudikaria deiturikoak hurrenez hurren, eta i unitate irudikaria da, i2 = − 1 propietatea betetzen duena.
Zenbaki errealen hedapen bezala, hauen eragiketak betetzen dituzte, eta beste propietate garrantzitsu batzuk ere betetzen dituzte. Adibidez, zenbaki errealetan ez bezela, polinomio orok ebazpena dauka zenbaki konplexuen multzoan.
Eduki-taula |
[aldatu] Definizioa eta adierazpenak
Zenbaki konplexuak zenbaki erreal pare ordenatu bezala definitzen dira,
Lehenengo zenbakiari zati erreala deitzen zaio eta bigarrenari zati irudikaria. Zenbaki errealak zenbaki konplexuen azpimultzo bat dira; a zenbaki erreala (a,0) zenbaki konplexu moduan idatzi daiteke. (x,0) erako zenbakiak erreal puruak deitzen dira eta (0,y) erakoak irudikari puruak. Horrela, i unitate irudikaria (0,1) zenbakia da.
Beste adierazpen era bat binomikoa da, gehien erabiltzen denetarikoa. Era honetan bi zenbaki erreal erabiltzen dira, i unitate irudikariarekin zenbaki konplexu bat eratzeko:
[aldatu] Adierazpen polarra
(x,y) pareak bana-banako korrespondentzia bat du plano bateko puntuekin, plano konplexua deiturikoa. Hau da, ardatz horizontala zati erreala bezala hartuz, eta bertikala zati irudikaria bezala, bertako puntuak (x,y) pareagatik definituak daude. Horrek ohiko era polarrean idaztea ahalbidetzen du, x = rcosθ eta y = rsinθ baitira. z = (x,y) = x + iy idazteko beste era bat, beraz, polarra da:
r zenbaki konplexuaren modulua da eta θ argumentua:
Zenbakiaren argumentuak infinitu balio ditu, θ eta θ + 2nπ, n = 0,±1,... balioek planoan angelu berdina adierazten baitute. Argumentuak balio nagusi bat dauka, Arg(z) bezala adierazten dena, eta (-π,π] artean dagoen arg(z)ren balio bakarra da. Horrela, arg(z) = Arg(z) + 2nπ, n = 0,±1,... da.
[aldatu] Adierazpen esponentziala
Eulerren formulak eiθ = cosθ + isinθ erlazioa definitzen du. Formula horrekin adierazpen polarra alda daiteke era esponentzialera:
[aldatu] Eragiketak
[aldatu] Batuketa
z1 = (x1,y1) = x1 + iy1 eta z2 = (x2,y2) = x2 + iy2 bi zenbaki konplexuren batuketa hurrengo eran definitzen da:
Plano konplexuan batuketak batuketa bektorialaren itxura dauka. Batuketak lege konmutatiboa eta asoziatiboa betetzen ditu:
Batuketari elementu neutroa 0 = (0,0) zenbakia da.
[aldatu] Biderketa
Batuketan adierazitako zenbaki berak erabiliz, biderketaren definizioa hurrengoa da:
Definizio horretatik ikus daiteke i unitate irudikariaren karratua -1 zenbakia dela:
,
baita (x,y) parearen eta era binomiarraren arteko baliokidetasuna ere:
Zenbakiak era polarrean edo esponentzialean adierazita badaude, non r1,θ1,r2,θ2 bien modulu eta argumentuak diren, biderketak hurrengo itxura hartzen du:
Era honek erraztasunak ditu errepresentatzeko orduan, biderkaduraren modulua biderkagaien moduluen biderkadura baita, eta argumentua argumentuen batura. Biderketarekiko elementu neutroa (1,0) zenbakia da, eta biderketak lege konmutatiboa, asoziatiboa eta batuketarekiko distributiboa betetzen ditu:
[aldatu] Modulua eta konjokatua
z = (x,y) = x + iy zenbaki konplexu baten modulua, edo balio absolutua, da. Era polarrean, |z| = r betetzen da. Moduluak propietate hauek betetzen ditu:
Distantzia d(z, w) = |z − w| bezala definituz, zenbaki konplexuen multzoa espazio metriko bilakatzen da eta limite eta jarraitasuna azter daiteke.
z zenbakiaren konjokatua edo
bezala idazten da, eta ardatz errealarekiko islapena da,
alegia. Hurrengo propietateak betezen ditu:
[aldatu] Historia
Zenbaki konplexuen agerpena XVI. mendean izan zen, bigarren eta hirugarren mailako polinomioen erroen adierazpena aurkitu zenean, Tartaglia eta Cardano bezalako matematikarien eskutik. Nahiz eta erro errealak soilik bilatu, zenbaki negatiboen erro karratuak agertzen ziren. Zenbaki hauei irudikari izena Rene Descartesek jarri zien bere mespretxua adierazteko. XVIII. mendeak Moivre eta Leonhard Euleren lanak ikusi zituen eta zenbaki konplexuen hedapena, Caspar Wesselek 1799an interpretazio geometrikoa eman zuenean sustatu zena. Gaussen lanak garrantzitsuak izan ziren zenbaki konplexuen teorian aurreratzeko. Definizio formalerako zenbaki erreal pareen erabilera XIX. mendean eman zen.