Lema da Bohr

From Wikipedia

Lumbaart ucidentaal Cheest artícul al è scrivüü in koiné uçidentala, urtugrafía ünificada.

Reguredemm che par cada funziun intrega g s'al definiss


M_r(g):=\max_{\vert z     \vert=r}
\{\vert g(z)     \vert\}
.

LEMA: Al síes  {\mathcal K} ul cungjuunt di funziun ulumòorf  h:\mathbb D(0,1)\to\mathbb C  taal che h(0) = 0 e  M_{1/2}(h)\geq 1  ; par cada h, al síes  c(h):=\sup\{r>0:\partial\mathbb D(0,r)\}\subset
h(\mathbb D(0,1))
  : alura  \inf\{c(h):h\in
{\mathcal K}\}>0  Demustrazziun: süpusemm par l'assüürt ch'al esiist una sequenza  \{h_n\}\subset{\mathcal K}  tala che  \lim_{n\to\infty} c(h_n)=0  ; alura, par cada n assée graant, i círcul  \mathbb D(0,1)  ,  \mathbb D(0,1/2)  e  \mathbb D(0,1/4)  i è mia cuntegnüü in  h_n(\mathbb D(0,1))  ; inscí la fameja {hn} a l'è tala che, par cada n assée graant,  h_n(\mathbb D(0,1))  al lassa fö un cungjuunt an,bn,cn da trii puunt: a gh'emm apó \min\{
\vert a_n-b_n\vert,
\vert b_n-c_n\vert,
\vert c_n-a_n\vert
\}\geq 1/4 par cada n; grazzia al teurema da Montel {hn} a l'è una fameja nurmala. A maanch d'estrazziun, sa pöö süponn che {hn} la cunveerg a una funziun ulumorfa  h:\mathbb D\to\mathbb C: grazzia al lema da Hurwitz  h\in{\mathcal K}  , h a l'è mia custanta e al esiist r > 0 tal che \partial\mathbb D(0,r)\subset
h(\mathbb D(0,1/2)). Aplicaant anmò ul lema da Hurwitz a s'uteegn, par cada n assée graant,  c(h_n)\geq r  , vargott ch'al è una cuntradizziun.