Irazziunalitaa dal nümer e

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In matemàtega, ul desenvilüpi in séria da Taylor dal nümer e


e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}

al pöö vess duvraa par a pruvà che e al è irazziunaal.


Süpunemm par l'absüürd che al sía e = a/b, par di inteer pusitiif a e b. Cunsideremm ul nümer


x := b\,!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)=b\,!\left(\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right).


Mustremm che la süpusizziun par l'absüürd ímplica a l'istess teemp che 0 < x < 1 e che x al è un nümer inteer. Ches-chí al è impussibil, e chesta cuntradizziun la stabiliss la irazziunalitaa da "e".

  • Par vidé che x al è un nümer inteer, nutemm che


x\, = b\,!\left(\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right)= a(b - 1)! - b\,!\cdot \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}
Adess, par ogni "n" taal che 0\leq n\leq b , al sa passa che b\,!

al è divisíbil par n\,!, dunca b\,!\cdot \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!} al è un nümer inteer pusitiif. Cuma cunseguénza, cunsideraa che anca a(b − 1)! al è un nümer inteer , "x" al è un nümer inteer.

  • Par vidé che "x" al è un nümer pusitiif inferiuur a 1, nutemm che


x= b\,!\sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{1}{n!} inscí


0\, < x,


= \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots

< \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + \cdots


= \frac{1}{b} \le 1


Chí, la darera suma l'è una séria geométrica. Cunsideraa che a esísten mía di nümer inteer pusitiif püssee piscin che 1, emm utegnüü una cuntradizziun. Ches-chí al finiss la demustrazziun.

Q.E.D.