Assioma d'estensiunalitaa

From Wikipedia

Portal Artícuj relazziunaa a matemàtica
Lumbaart ucidentaal Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada. Lombart oriental


L'assioma d'estensiunalitaa, u assioma d'estensiú, intervient in lògica, in matemàtica, e in infurmàtega. Al è ü di assiòom-cjaaf da tüta la teuría assiumàtega di cungjuunt e, in particülaar, ul primm assioma da la teuría ZF ( teuría di cungjuunt da Zermelo-Fraenkel ).

L'assioma d'estensiunalitaa al è intimameent liaa a la nuzziú d'igualtaa da düü cungjuunt. Al esiist in efett almaanch ciinch manere diferente da definí chesta nuzziú , e cheest assioma al permett da i ünifiá. Al serviss apó a impusá l'ünicitaa da cungjuunt definii par ul datum dij söö elemeent, cuma ul cungjuunt vöj, i singletú, i para, u i Cungjuunt da le parte.

Cuntegnüü

[redatá] Presentazziú dal assioma

Par la varietaa da le definizziú da l'igualtaa, al esiist plüü da furmulazziú pussíbil da cheest assioma, però i pöö tüte sa repurtá a l'enunziaa in acordi a:

si düü cungjuunt i gh'a i istess elemeent, alura i è i istess.

Si al è pussíbil da restá flou par vargot ch'al cuncerna la nuzziú d'igualtaa druvada in la furmulazziú chí-da-sura, al cuventa la precisá cura che sa vöör esprimm l'assioma int un lenguagg furmaal. Al è par vargott ch'al cuventa esaminá da plüü areent le diferente nuzziú d'igualtaa.

[redatá] I diverse nuzziú d'igualtaa

Le diferente teuríe di cungjuunt i definiss mia sémpar da la istessa manera la nuzziú d'igualtaa da düü cungjuunt. A recapitulemm chí le definizziú rincuntrade :

[redatá] Igualtaa paj elemeent

Al è l'igualtaa cuma l'è definida in la teuría naïve di cungjuunt par Cantor; la sarà nutada chí « =ig ». Sa la definiss furmalameent par :

 \forall E , \forall F , ( E =_{ig} F ) \Leftrightarrow [ \forall x , ( x \in E ) \Leftrightarrow ( x \in F ) ] \,
Düü cungjuunt i è iguaj paj elemeent si e noma si i gh'a i istess elemeent.

[redatá] Igualtaa par inclüsiú recípruca

Al è una varianta da la definizziú precedenta; la sarà nutada chí « =_{{inc}}\  ». La fa apell a la nuzziú da inclüsiú, da che la definizziú a l'è :

 \forall E , \forall F , ( E \subseteq F ) \Leftrightarrow [ \forall x , ( x \in E ) \Rightarrow ( x \in F ) ] \,
Un cungjuunt E al è cuntegnüü int un cungjuunt F si e noma si cada elemeent da E al partegn a F.

L'igualtaa par inclusiú recípruca sa la definiss alura furmalameent par :

 \forall E , \forall F , ( E =_{inc} F ) \Leftrightarrow [ ( E \subseteq F ) \wedge ( F \subseteq E ) ] \,
Düü cungjuunt i è iguaj par inclüsiú recípruca si e noma si i è cuntegnüü l'ün in l'òolt.

Cheste dò prime definizziú da l'igualtaa i è evidentameent equivalente; al è assée da remplazzá l'inclüsiú par la suva definizziú e da sa regurdá che :

\forall P, \forall Q, [P \Leftrightarrow Q] \Leftrightarrow [(P \Rightarrow Q) \land (Q \Rightarrow P)]

[redatá] Igualtaa par prupietaa

Al è l'igualtaa definida par Leibnitz sota ul nomm d'identitaa lògica, e nutada una völta « = » par che cunsiderada cuma plüü « forta » che l'igualtaa al sentüü da Cantor par una resú che a vedaremm un pocch plüü luntà; la sarà nutada chí « =P ». Sa la definiss furmalameent par :

 \forall E , \forall F , ( E =_{P} F ) \Leftrightarrow [ \forall P , P ( E ) \Leftrightarrow P ( F ) ] \,
Düü cungjuunt i è iguaj par prupietaa si e noma si i verifica le istesse prupietaa.

Da fatt, sa na retröva in cheest caas cul istess uget sota düü nomm difereent ( ul nomm d'un uget al è mia una prupietaa propia a cheest uget; al è una etichèta ch'a la gh'è apusada ).

Chesta definizziú, ch'a la pareva natürala a tüta prima, la cascja da fatt una dificültaa : i prupietaa ga i è quantifiade ( « ∀ P » ). Adess, i prupietaa i è di predicaa, e noma la quantificazziú da le variàbile , mia la di predicaa al è auturizada in la lògica abitüala ( lògica di predicaa dal primm úrden' ).

Tré sulüzziú i è pussíbile :

  • recürí a una lògica auturizaant la quantificazziú di predicaa, par esempi la lògica di predicaa dal seguunt úrden '; cheest al è mia la sulüzziú abitüalameent druvada, par che le lògiche d'úrden süperiuur al primm i è fisc plüü cumpless e i scuunt de le trape otrameent redüzzíbile che le da la lògica clàssica...
  • truvá una definizziú equivalenta, però ch'a la faghes mia apell a la quantificazziú di predicaa; al è la sulüzziú druvada par esempi in la teuría NGB ( [[Classa (matemàtica)|teuría da le classe] ] da von Neumann, Gödel e Bernais );
  • renunziá a definí l'igualtaa, e l'intrudüí cuma tèrmin primitiif da la lògica süb-gjacenta ( lògica cjamada cunt igualtaa ); al è ul caas par esempi da la teuría ZF.

[redatá] Igualtaa par classa

Al è l'igualtaa definida in la teuría NGB ; la sarà nutada chí « =C ». Sa la definiss furmalameent par :

 \forall E , \forall F , ( E =_{C} F ) \Leftrightarrow [ \forall C , ( E \in C ) \Leftrightarrow ( F \in C ) ] \,
Düü cungjuunt i è iguaj par [[Classa (matemàtica)|classa] ] si e noma si i partegn a le istesse classe.

La nuzziú da classa la generaalise chela da cungjuunt. Una classa al è un cungjuunt si e noma si la è elemeent d'una otra classa; si-da-nò , al è un ünivèers.

Chesta definizziú a l'è equivalenta a la par prupietaa :

- cuma a tüta prupietaa la pöö vess sucjada una classa, la di cungjuunt ch'i verifica chesta prupietaa, l'igualtaa par classa la implica la par prupietaa;
- inversameent, cuma cada classa la gh'a una prupietaa caraterístega, l'igualtaa par prupietaa la implica la par classa.

Però la cumporta mia da quantificazziú da predicaa . In scambi, i è le variàbile da classa ch'i è quantifiade, vargot ch'al è lézzit íntal quàdar d'una lògica dal primm úrden.

[redatá] Igualtaa par definizziú mia direta

La sarà nutada chí « =D ». In la teuría ZF, l'igualtaa a l'è mia definida, però cunsiderada cuma tèrmin primitiif da la lògica süb-gjacenta ( lògica cjamada « cunt igualtaa » ), ch'al cumporta alura i assiòom necessari par definí un cumpurtameent da cheest tèrmin equivaleent a al da l'igualtaa par prupietaa.

[redatá] Assioma d'estensiunalitaa e igualtaa

Sa cunstata che le definizziú precedente sa i repartiss in düü grup da definizziú equivalente:

- le dò prime definizziú d'una paart ( grup I ),
- e le tré darere d'otra paart ( grup II ).

In resümii, a gh'emm :

 ( E =_{ig} F ) \Leftrightarrow ( E =_{inc} F ) \,
 ( E =_{P} F ) \Leftrightarrow ( E =_{C} F ) \Leftrightarrow ( E =_{D} F ) \,

Da plüü, sa pöö mustrá che l'igualtaa paj elemeent al è un caas particülaar da l'igualtaa par prupietaa, cunsiderant la prupietaa P(E) definida cuma x ∈ E. L'igualtaa par prupietaa la implica dunca l'igualtaa paj elemeent. Al è in cheest sentüü che, cuma indicaa plüü in òolt, l'igualtaa par prupietaa a l'è plüü forta che l'igualtaa paj elemeent. A en dedüissemm ul schéma chí-da-sota d'implicazziú dal grup II veers ul grup I :

 \left.\begin{matrix} E =_{P} F \\ \Updownarrow \\ E =_{C} F \\ \Updownarrow \\ E =_{D} F \end{matrix}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} E =_{e} F \\ \Updownarrow \\ E =_{i} F \end{matrix}\right. \,

Par utegní l'equivalenza da tüte cheste definizziú, al resta dunca noma a demustrá le implicazziú inverse, dal grup I veers ul grup II. Però chesta darera implicazziú al è òolt che l'assioma d'estensiunalitaa !

En passant, sa l pöö infí esprimm cheest assioma da manera furmala; a representaremm i söö difereent enunziaa pussíbil da manera cumpata sota la furma sigütanta :

 \forall E , \forall F , \left\{\begin{matrix} \forall x , ( x \in E ) \Leftrightarrow ( x \in F ) \\ ( E \subseteq F ) \wedge ( F \subseteq E ) \end{matrix}\right\} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \forall P , P ( E ) \Leftrightarrow P ( F ) \\ \forall C , ( E \in C ) \Leftrightarrow ( F \in C ) \\ E = F \end{matrix}\right. \,

Al è pussíbil da rincuntrá da le furmulazziú dal assioma indúe l'implicazziú a l'è remplazzada par una equivalenza, però, traa di caas particülaar, chesta equivalenza a l'è süpèrflüa.

Cada teuría scerniss l'üna da le definizziú precedente cuma definizziú da l'igualtaa, representada pal símbul « = », e le otre definizziú, almaanch le cumpatíbil cun chesta teuría, n i diventa di [[teurema|teureem] ].

[redatá] Òolt röö da cheest assioma

L'assioma d'estensiunalitaa al serviss mia noma a ünifiá le diferente definizziú da l'igualtaa di cungjuunt. Al serviss apó a assürá l'ünicitaa da cungjuunt fundamentaj, taj ul cungjuunt vöj u l para da düü cungjuunt, da che l'esistenza a l'è afirmada par di òolt assiòom.

A cheest efet, cunsideremm un predicaa ünari qual-sa-vöör P. Sa l pöö sémpar definí ul cungjuunt A cuma ul cungjuunt di ugett C ch'i verifica P, i.e. paj-quaj P( C ) al è vera.

Però definí un uget al süfiss mia a garantí la suva esistenza, ni maanch che al pöda esiist. Al cuventa par cheest :

  • che la definizziú la síes cunsistenta, i.e. la porta mia a una cuntradizziú ;
  • e che l'esistenza dal uget la síes afirmada paj assiòom da la teuría, u en al sigütes.

Ul cungjuunt A al esiist dunca mia si la suva definizziú la porta a una cuntradizziú , par esempi cul predicaa R definii par : « R( C ) » al equivaar a « C al partegn mia a C » (sa l retröva in cheest caas ul Paradoss da Russell).

Cun chesta riserva, i.e. si na limitemm aj predicaa cun dent una definizziú cunsistenta dal cungjuunt A, e si a definissemm un seguunt cungjuunt B da la istessa manera, a partí dal istess predicaa , alura l'assioma d'estensiunalitaa al imponn che i düü cungjuunt i è i istess.

In efett, al síes x un élameent da B. Dapress la definizziú da B, x al verifica P. Però si x al verifica P, alura, dapress la definizziú da A, x al partegn a A. Dunca cada elemeent da B al partegn apó a A, e inscí B al è cuntegnüü in A. Scambiaant A e B in la démustrazziú precedenta, sa la utegn amò una démustrazziú vàlida, d'indúe A al è cuntegnüü in B. Sa la gh'a la dobia inclüsiú recípruca, dunca B al gh'a esatameent i istess elemeent che A e sa l cunfuunt cunt al.
Nota : la demustrazziú chí-da-sura la pöö vess rendüda plüü evidenta si sa fa apell al curulari in acordi al assioma d'estensiunalitaa:
Un cungjuunt al è cumpletameent determinaa paj söö elemeent, e ünicameent paj söö elemeent.

Inscí, cada cungjuuntA definii a partí d'un predicaa ünari P par la fórmüla :

 \forall\ C , [ C \in A ] \Leftrightarrow [ P ( C ) ] \,

al è ünich (a cundizziú da tüta manera ch'al esiist).

Sa l pöö alura intrudüí un símbul particülaar par désigná cheest cungjuunt, par esempi { a } pal singletú custrüii a partí da l'uget a, u { a , b } pal para furmaa par a e b,...

[redatá] Variante da l'assioma d'estensiunalitaa

L'assioma d'estensiunalitaa a l'è generalameent cunsideraa cuma indescütíbil , e al, u ü dij söö equivaleent, parisseva in tüta l'assiumàtega alternativa da la teuría di cungjuunt. Da tüta manera, al pöö sübí da le modificazziú par satisfá vargüne esigenze, cuma in l'esempi segueent.

[redatá] Int una teuría di cungjuunt cun di ur-elemeent

La nuzziú dur-elemeent, u àtum u amò elemeent primitif, la risülta da la furmalizazziú da la nuzziú delemeent da la teuría cantoriana. Cantor al sa ucüpava pocch da la natüra precisa daj söö elemeent; tütt vargot ch'al gh'a impurtava, al era che sa pudess i mett cungjuuntameent. Però, cuj primm sfoorz da furmalizazziú ( Zermelo), al è parüü necessari da distinguí i elemeent ch'i i era sí istess di cungjuunt da chij ch'i era mia : un elemeent al era dunca al síes un cungjuunt, al síes un elemeent primitif. Un elemeent primitif, u ur-elemeent al è dunca un elemeent, i.e. un uget süscetíbil da partegní a un cungjuunt, però ch'al è mia sí-istess un cungjuunt, e ch'al cumporta dunca nissü elemeent.

In la teuría da Zermelo-Fraenkel atüala, « tütt-coss al è cungjuunt », e a gh'è plüü d'ur-elemeent, però le prime versiú da Zermelo, ispirade par la teuría naïve, n i cumportava; vargüne assiumàteghe alternative da la teuría di cungjuunt n i gh'a amò. I ur-elemeent i pöö vess cunsideraa cuma lògicameent difereent di cungjuunt; íntal caas indúe A al è un ur-elemeent, « xA » al gh'a nissü sentüü; inscí, l'assioma d'estensiunalitaa sa l aplica noma aj cungjuunt (si-da-nò , cuma un ur-elemeent al gh'a mia d'elemeent, al sa cunfundaress cul cungjuunt vöj).

Alternativameent, int una lògica mia tipada, sa l pöö avidaa büsögn da dá un sentüü a « xA » ; chesta espressiú a l'è alura cunsiderada cuma falsa tüte le völte indúe A al è un ur-elemeent. In cheest caas, l'aplicazziú da l'assioma abitüaal d'estensiunalitaa la implicaress, cuma a venemm da vidé, che tütt ur-elemeent sa l cunfund cul cungjuunt vöj. Par evitá cheest-chí, a dévum mudifiá l'assioma d'estensiunalitaa al fí che al pöda s'aplicá noma aj cungjuunt mia-vöj. Sa l núnzia alura par esempi:

assioma d'estensiunalitaa restrecc :
 \forall A , \forall B , [ ( \exists C /\, C \in A ) \wedge ( \forall x , ( x \in A ) \Leftrightarrow ( x \in B ) ) ] \Rightarrow [ A = B ] \,

I.e. :

daa di cungjuunt A e B qual-sa-vöör, si A a l'è un cungjuunt mia vöj (i.e. sa l esiist almaanch un elemeent C in A ), e si A e B i gh'a esatameent i istess elemeent, alura i è iguaj.

[redatá] Vidée apó