Resürgenza

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Lumbaart ucidentaal Cheest artícul al è scrivüü in koiné uçidentala, urtugrafía ünificada.

Ul A.Hurwitz al a pusaa la quistiun si al füdess pussíbil che una séria da puteenz



h(\xi)=\sum_{k=0}^{\infty}a_k(\xi-\xi_0)^k,

representaant una funziun difereent da

 \xi\mapsto c e^{\xi}  ,

l'ametess cuntinuazziun analítica luungh un camin saraa inturna a ξ0 e, a la fin da la cuntinuazziun, la tuless la furma:


\sum_{k=1}^{\infty}k a_k(\xi-\xi_0)
^{k-1}=h^{\prime}(\xi),

vargott a dí: sa pöö-la cuntinuá analiticameent una funziun ulumorfa veers la suva derivada?

[redatá] La sulüzziun da Lewy

Ul H.Lewy al a respundüü afermativameent, e al a daa una sulüzziun dal prublema che presentemm chí int una furma ligerameent mudifegada(vidée A.Naftalevich: On a differential-difference equation, The Michigan Mathematical Journal, 22 (1975)).

Sa cunsideri la funziun 
h(z)=\int_{\mathbb R^+}
 \exp
\left[
-zt-(\log t)^2/4\pi e 
\right]\, dt;
h a l'è ulumorfa par \Re(z)>0 e la pöö vess cuntinuada analiticameent aj semipian \Re(z e^{- e\vartheta})>0\ (\vartheta
\in\mathbb R^+), da la manera segueent: al síes  N\in\mathbb N  taal che 0<\vartheta/N<\pi/2  e femm \eta:= \vartheta/N  .

Scrivemm, par  z\in
\{\Re(z e^{- e\eta})>0\}\bigcup
\{\Re(z)>0\} ,


h(z)=\int_{\mathbb R^+}exp\left[z e^{- i\eta} e^{i\eta} t-
\frac{\log(
e^{- i\eta}
e^{i\eta}
t)^2}{4\pi i  }
\right]
\, dt

=\int_{e^{i\eta}\mathbb R^+}
exp
\left[-ze^{- i\eta}
u-
\displaystyle
\frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i }
\right]
e^{- i\eta}
\, du

=\lim_{R \to\infty}
\left\{
\int_0^{R}
exp
\left[-ze^{- i\eta}
u-
\displaystyle
\frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i }
\right]
e^{- i\eta}
\, du+\right.

\ \qquad \left. + 
\int_{\gamma_R}
exp
\left[-ze^{- i\eta}
u-
\displaystyle
\frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i }
\right]
e^{- i\eta}
\, du\right\}.


Chesta darera integrala, che numinemnm e2, la gh'a da vess calcülada sura la cürva \gamma_R:
[0,1]\rightarrow\mathbb C definida par γ(t): = Reitη.

A emm  e_2\leq C_1 R^{\alpha}e^{-C_2R}  par di custaant reaal pusitiiv C1, C2 e α, dunca e2 al teent a 0 quan  R\to\infty.

Inscí, par  z\in
\{\Re(z e^{- i\eta})>0     \}\bigcap
\{\Re(z)>0     \} hom ha 
h(z)=
\int_{\mathbb R^+}
exp
\left[-ze^{- i\eta}
u-\frac{(\log(u)-i\eta)^2}{4\pi i }
\right]
e^{- i\eta}
\, du;
però chesta darera integrala la cunveerg in \Re(z e^{- e\eta})>0 e dunca la ga definiss una cuntinuazziun analítica da h. Repetemm ul prucedimeent N vöölt: vargott al na dà finalameent una cuntinuazziun analítica da h al semiplan \Re(z e^{- e\vartheta})>0; dunca h la pöö vess cuntinuada analiticameent a tücc i puunt p\in\mathbb C\setminus\{0     \}  .

Finalmeent, si femm la cuntinuazziun analítica luungh ul camin  \vert z\vert=1,
0\leq\arg(z)\leq 2\pi   , utegnemm, designaant \widehat h   l'element da funziun ulumorfa utegnüü (int un intuurn da z = 1) dapress una girada cumpleta,  
\widehat h(z) =
 \int_{\mathbb R^+}
 \exp
\left[-e^{2\pi e}z
t-(\log t+2\pi e)^2/4\pi e    \right]\, dt=

 
=
\int_{\mathbb R^+}
 \exp
\left[-zt-
\displaystyle
\frac{(\log t)^2-4\pi ^2+4\pi e\log t}{4\pi e }
 \right]\, dt=

 
=\int_{\mathbb R^+}
 \exp
\left[
\displaystyle
-zt
-e^{2\pi e}
t-(\log t)^2/4\pi e
-
\pi e+ \log t
\right]\, dt=

 
=
\int_{\mathbb R^+}
(-t) 
\exp
\left[-zt-(\log t)^2/4\pi e    \right]\, dt= h^{\prime}(z).

Vargott al finiss la presentazziun da la sulüzziun da cheest prublema.

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