Lema da Zalcman

From Wikipedia

Lumbaart ucidentaal Cheest artícul al è scrivüü in koiné uçidentala, urtugrafía ünificada.


Grazzia al lema dal spazzi métrich, sa pöö dá una pröva fisc sémplis dal segueent lema d'anàlisi cumplessa, devüü al matemàtich Israelian Zalcman:


Si una fameja {\mathcal F}:=
\{f_{\alpha}\} da funziun merumòorf sül diisch ünitaa \mathbb D a l'è mia nurmala sü vargün intuurn da v\in\mathbb D, alura al esiist di sequeenz \{v_n\}\to v, \{r_n\}\downarrow 0, \{f_n\}\subset{\mathcal F} e una funziun merumorfa mia custanta h\mathbb C taal che \{f_n(v_n+r_n z)\}\to h ünifurmameent sü cada cungjuunt cumpatt da  \mathbb C  ; da plüü, la derivada sférica h^{\sharp} a l'è limitada sür \mathbb C.


Demustrazziun Grazzia a la mia nurmalitaa al puuntv, i sa pöö truvá di sequeenz \{\xi_n\}\rightarrow v in \mathbb D e \{f_n\}\subset{\mathcal F} taal che f_n^{\sharp}(\xi_n)
\geq n^3. Sa pöö süponn, senza nöss a la generalitaa, che n} al síes cuntegnüü int un sübcungjuunt saraa X da \mathbb D.

Par cada n, aplichemm ul lema dal spazzi métrich a X cun la métrica euclidea, M=f_n^{\sharp}, u = ξn e σ = 1 / n; s'uteegn v_n\in X taal che: {\tt (i)} 
d(\xi_n,v_n)
          \leq 1/n^2, {\tt (ii)}f_n^{\sharp}(v_n)
\geq n^3 e {\tt (iii)} \vert x-v_n     \vert
\leq 
{n}[{f_n^{\sharp}(v_n)}]^{-1}
\Rightarrow
f_n^{\sharp}(x)
\leq f_n^{\sharp}
(v_n).

Punemm adess r_n:=
[{f_n^{\sharp}(v_n)}]^{-1}
e hn(w): = fn(vn + rnw). % Cada hn al è ben definii sü  \mathbb D(0,n)  par che: {\tt (i)} \,  v_n\to v\, e {\tt (ii)} \, n r_n\leq 1/n^2  . La fameja {hn} a l'è nurmala par che, grazzia a 3, (h_n)^{\sharp}\leq 2B(0,n): grazzia al teurema d'Ascoli-Arzelà, sa pöö trá fö da {hn} una sübsequenza ünifurmameent cunvergeent sü cada cumpatt da  \mathbb C  , veers una funziun merumorfa límit h tala che {h}^{\sharp}(0)
=\lim_{n\to\infty}
{h_n}^{\sharp}(0)=1, vargott ch'al pröva che h a l'è mia custanta; finalameent, par ulumurfía, {h}^{\sharp}(z)
=\lim_{n\to\infty}
{h_n}^{\sharp}(z)\leq 2 par cada  z\in\mathbb C  .

[redatá] Refereenz

F.Berteloot, J.Duval it Une démonstration directe de la densité des cycles répulsifs dans l'ensemble de Julia Basel, Birkhäuser Prog. Math. 188, 221-222 (2000)