Uperazziú cuj cungjuunt

From Wikipedia

Portal Artícuj relazziunaa a matemàtica
Lumbaart ucidentaal Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada. Lombart oriental

Cheest artícul al è cunsacraa a un primm aprocc a le uperazziú cuj cungjuunt e da le suve prupietaa : reüniú, intersezziú , diferenza, cumplementazziú , diferenza simétrica...

Cuntegnüü

[redatá] Reüniú

[redatá] Definizziú

Par cada cungjuuntA e cada cungjuuntB, al esiist un cungjuunt U da che i elemeent i è chij da A e da B ( cheest chí al sigüta dal assioma da la reüniú ). In nutazziú simbòlica :

 \forall\ A , \forall\ B , \exists\ U / \, \forall\ X ,\ ( X \in U ) \Leftrightarrow [ ( X \in A ) \vee ( X \in B ) ] \,

L'ünicitaa dal cungjuunt U a l’è garantida pal assioma d'estensiunalitaa. Sa l nota « A U B » ( lesí « A üniú B » ), e sa l cjama reüniú da A e da B.

 A \cup B = \{ x | ( x \in A ) \vee ( x \in B ) \} \,

[redatá] Prupietaa

  • U1 ( cumütativitaa ) : la reüniú da düü cungjuunt la depeent mia da l'úrden íntal quaal chiist düü cungjuunt i è cjapaa. In nutazziú simbòlica :
 \forall\ A , \forall\ B ,\ A \cup B = B \cup A \,
  • U2 ( Ø elemeent néutar ) : la reüniú dal cungjuunt vöj cunt un cungjuunt qual-sa-vöör la dà cheest cungjuunt. In nutazziú simbòlica :
 \forall\ A ,\ A \cup \emptyset = A \,
  • U3 ( idemputenza ) : la reüniú d'un cungjuunt qual-sa-vöör cun sí-istess rede cheest cungjuunt. In nutazziú simbòlica :
 \forall\ A ,\ A \cup A = A \,


  • U4 : cada cungjuunt al è cuntegnüü in la suva reüniú cunt un òolt cungjuunt. In nutazziú simbòlica :
 \forall\ A , \forall\ B ,\ A \subseteq A \cup B \,
  • U5 : un cungjuunt A al è cuntegnüü int un cungjuunt B si e noma si la suva reüniú al è iguaala a B. In nutazziú simbòlica :
 \forall\ A , \forall\ B ,\ ( A \subseteq B ) \Leftrightarrow ( A \cup B = B ) \,
  • U6 : si la reüniú da düü cungjuunt al è vöja, alura i è vöj töcc i düü. In nutazziú simbòlica :
 \forall\ A , \forall\ B ,\ [ A \cup B = \emptyset ] \Rightarrow [ ( A = \emptyset ) \wedge ( B = \emptyset ) ] \,


  • U7 ( cumpatibilitaa cun l'inclüsiú ) : la reüniú da düü sübcungjuunt al è cuntegnüda in la reüniú di düü cungjuunt da che i è sübcungjuunt. In nutazziú simbòlica :
 \forall\ A , \forall\ B , \forall\ C , \forall\ D ,\ [ ( A \subseteq B ) \wedge ( C \subseteq D ) ] \Rightarrow [ ( A \cup C ) \subseteq ( B \cup D ) ] \,
  • U8 ( sucjativitaa ) : ul resültaa da la reüniú da plüü da cungjuunt al depeent mia da l'úrden íntal quaal i uperazziú da reüniú i è fade. In nutazziú simbòlica :
 \forall\ A , \forall\ B , \forall\ C ,\ ( A \cup B ) \cup C = A \cup ( B \cup C ) = A \cup B \cup C \,

[redatá] Cungjuunt suma

[redatá] Definizziú

Par cada cungjuuntE da che i elemeent i è luur istess di cungjuunt, al esiist un cungjuunt S da che i elemeent i è chij di elemeent da E ( chest-chí al è òolt che l'Assioma da la reüniú ). In nutazziú simbòlica :

 \forall\ E , \exists\ S /\, \forall\ x ,\ ( x \in S ) \Leftrightarrow [ \ \exists\ A / \, ( A \in E ) \wedge ( x \in A ) ] \,

L'ünicitaa dal cungjuunt S a l’è garantida par l'assioma d'estensiunalitaa. Sa l nota« UE » ( lesí « üniú E » ), da le völte « U(E) », e sa l cjama cungjuunt suma da E :

 \mathbf{U} E = \bigcup_{X \in\,E} X = \{ x \,| \ \exists\ Y \in E /\, x \in Y \} \,

Si E = { A, B, C, ... }, alura :

 \mathbf{U} E = A \cup B \cup C \cup \dots = \{ x \,| \ (x \in A) \vee (x \in B) \vee (x \in C) \vee \dots \}

[redatá] Prupietaa

  • Ul cungjuunt suma dal cungjuunt vöj al è ul cungjuunt vöj :
 \mathbf{U} \emptyset = \emptyset \,
  • Si E al è un sübcungjuunt da F, alura ul cungjuunt suma da E al è cuntegnüü int al da F :
 \forall\ E , \forall\ F ,\ ( E \subseteq F ) \Rightarrow ( \mathbf{U} E \subseteq \mathbf{U} F ) \,
  • Ul cungjuunt suma da la reüniú da düü cungjuunt al è iguaal a la reüniú di cungjuunt suma da cada cungjuunt :
 \forall\ E , \forall\ F ,\ \mathbf{U}( E \cup F ) = \mathbf{U} E \cup \mathbf{U} F \,
  • Plüü generalament, ul cungjuunt suma dal cungjuunt suma d'un cungjuunt E al è iguaal a la reüniú di cungjuunt suma di elemeent da E ; in d'òolt tèrmen, si E = { A, B, C, ... }, alura :
 \forall\ E ,\ \mathbf{U} \mathbf{U} E = \mathbf{U} A \cup \mathbf{U} B \cup \mathbf{U} C \cup \dots \,

[redatá] Caas da le famèje da cungjuunt

Al è pussíbil da definí la reüniú d'una famèja qual-sa-vöör da cungjuunt \ _{(E_i)_{i \in I}} \, cuma la reüniú da töcc i cungjuunt da la famèja :

 \bigcup_{i \in I} E_i = \left \{ \, x \, | \, \exists\ i \in I /\, x \in E_i \ \right \} \,
In particülaar, par una famèja vöja da cungjuunt :  \bigcup_{i \in \emptyset} E_i = \emptyset \,

[redatá] Recuvrameent

Un cungjuunt F al è un recuvrameent d'un cungjuunt E si e noma si ul cungjuunt suma da F al è iguaal a E. Par esempi, ul cungjuunt singletú { E } e ul cungjuunt da le parte  \mathfrak{P}(E) i è düü recuvrameent da E, u, in d'òolt tèrmen :  \mathbf{U}\{ E \} = \mathbf{U}\mathfrak{P}(E) = E . D'après vargot ch’al precéet, l'üniú da düü recuvrameent (u plüü) al è amò un recuvrameent.

[redatá] Intersezziú

[redatá] Definizziú

Par cada cungjuuntA e cada cungjuuntB, al esiist un cungjuunt S da che i elemeent i è chij cumü a A e a B ( cheest chí al sigüta da l'assioma da séparazziú ). In nutazziú simbòlica :

 \forall\ A , \forall\ B , \exists\ S /\, \forall\ X ,\ ( X \in S ) \Leftrightarrow [ ( X \in A ) \wedge ( X \in B ) ] \,

L'ünicitaa dal cungjuunt S al è garantida par l'assioma d'estensiunalitaa. Sa l nota« AB » ( lesí « A intèr B » ), e sa l cjama intersezziú da A e da B.

 A \cap B = \{ x | ( x \in A ) \wedge ( x \in B ) \} \,

[redatá] Prupietaa

  • N1 ( cumütativitaa ) : l'intersezziú da düü cungjuunt la depeent mia da l'úrden íntal quaal chiist düü cungjuunt i è cjapaa. In nutazziú simbòlica :
 \forall\ A , \forall\ B ,\ A \cap B = B \cap A \,
  • N2 ( Ø elemeent assurbeent ) : l'intersezziú dal cungjuunt vöj e d'un cungjuunt qual-sa-vöör al è vöja. In nutazziú simbòlica :
 \forall\ A ,\ A \cap \emptyset = \emptyset \,
  • N3 ( idemputenza ) : l'intersezziú d'un cungjuunt qual-sa-vöör cun sí-istess la da drée cheest cungjuunt. In nutazziú simbòlica :
 \forall\ A ,\ A \cap A = A \,


  • N4 : l'intersezziú da düü cungjuunt al è cuntegnüda in ognidü da chiist düü cungjuunt. In nutazziú simbòlica :
 \forall\ A , \forall\ B ,\ A \cap B \subseteq A \,
  • N5 : un cungjuunt A al è cuntegnüü int un cungjuunt B si e noma si la suva intersezziú al è iguala a A. In nutazziú simbòlica :
 \forall\ A , \forall\ B ,\ ( A \subseteq B ) \Leftrightarrow ( A \cap B = A ) \,
  • N6 : l'equivaleent da U6 sa l tradüiss par una definizziú ,la di cungjuunt dis·gjuunt ( vidé chí-da-sota ).


  • N7 ( cumpatibilitaa cun l'inclüsiú ) : l'intersezziú da düü sübcungjuunt al è cuntegnüda in l'intersezziú di düü cungjuunt da che i è sübcungjuunt. In nutazziú simbòlica :
 \forall\ A , \forall\ B , \forall\ C , \forall\ D ,\ [ ( A \subseteq B ) \wedge ( C \subseteq D ) ] \Rightarrow [ ( A \cap C ) \subseteq ( B \cap D ) ] \,
  • N8 ( sucjativitaa ) : ul resültaa da l'intersezziú da plüü da cungjuunt al depeent mia da l'úrden íntal quaal i uperazziú i è fade. In nutazziú simbòlica :
 \forall\ A , \forall\ B , \forall\ C ,\ ( A \cap B ) \cap C = A \cap ( B \cap C ) = A \cap B \cap C \,

[redatá] Cungjuunt nücli

[redatá] Definizziú

Par cada cungjuuntE da che i elemeent i è luur istess di cungjuunt, al esiist un cungjuunt S da che i elemeent i è chij cumü a töcc i elemeent da E ( cheest chí al sigüta da l'Assioma da séparazziú ). In nutazziú simbòlica :

 \forall\ E , \exists\ S /\, \forall\ x ,\ ( x \in S ) \Leftrightarrow [ \ \forall\ A ,\ ( A \in E ) \Rightarrow ( x \in A ) ] \,

L'ünicitaa dal cungjuunt S al è garantida par l'assioma d'estensiunalitaa. Sa l nota« E » ( lesí « intèr E » ), da le völte « (E) », e sa l cjama cungjuunt nücli u fuunt cumü da E :

 \cap E = \bigcap_{X \in\,E} X = \{ x \,| \ \forall\ Y \in E ,\ x \in Y \} \,

Si E = { A, B, C, ... }, alura :

 \cap E = A \cap B \cap C \cap \dots = \{ x \,| \ (x \in A) \wedge (x \in B) \wedge (x \in C) \wedge \dots \}

[redatá] Prupietaa

  • Ul cungjuunt nücli dal cungjuunt vöj al è l'üniveers Ω:
 \cap \emptyset = \Omega \,
remarca : in acordi a la teuría di cungjuunt cunsiderada, l'üniveers di cungjuunt al pöö anca mia esistí, però in töcc i caas, cheest-chí al è mia un cungjuunt.
  • Si E al è un sübcungjuunt da F, alura ul cungjuunt nücli da F al è cuntegnüü in celui da E :
 \forall E, \forall F, (E \subseteq F) \Rightarrow ( \cap F \subseteq \cap E )

[redatá] Caas di famèje da cungjuunt

Al è pussíbil da definí l'intersezziú d'una famèja qual-sa-vöör da cungjuunt \ _{(E_i)_{i \in I}} \, cuma l'intersezziú di cungjuunt cumpusaant chesta famèja :

 \bigcap_{i \in I} E_i = \left \{ \, x \, | \, \forall\ i \in I ,\ x \in E_i \, \right \} \,.

In particülaar, par una famèja vöja da cungjuunt, \bigcap_{i \in \emptyset} \,_{E_i} \, al è la « classa » da töcc i cungjuunt e al è dunca mia un cungjuunt.

[redatá] Cungjuunt dis·gjuunt

Düü cungjuunt i è dis·gjuunt si e noma si la suva intersezziú al è vöja, i.e. s'i gh’a mia d'elemeent in cumü. Par esempi, si A = { 1, 2 } e B = { 3, 4 }, alura AB = Ø, e A e B i è dunca dis·gjuunt.

Al esiist düü manere da generaalizá chesta definizziú a plüü da düü cungjuunt :

  • i elemeent d'un cungjuunt E i è (glubalameent) dis·gjuunt si e noma si ul cungjuunt nücli da E al è vöj :  \cap E = \emptyset ;
  • i elemeent d'un cungjuunt E i è mutualameent dis·gjuunt u dis·gjuunt düü a düü si e noma si ul cungjuunt nücli da cada para da chiist elemeent al è vöj, i.e. si :  \forall\ X \in E , \forall\ GA \in E ,\ X \cap Y = \emptyset \,;

Cheste dò nuzziú i è diferente : si di cungjuunt dis·gjuunt düü a düü i è globalameent dis·gjuunt, di cungjuunt glubalameent dis·gjuunt i è mia necessariameent düü a düü dis·gjuunt .

[redatá] Liamm cun la reüniú

  • UN1 ( distribütivitaa da l'intersezziú par rapòort a la reüniú ) : l'intersezziú da la reüniú da düü cungjuunt cunt un teerz cungjuunt al è iguala a la reüniú da l'intersezziú da ognidü di düü primm cungjuunt cul teerz :
 \forall\ A , \forall\ B , \forall\ C ,\ A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C ) \,
  • UN2 ( distribütivitaa da la reüniú par rapòort a l'intersezziú ) : la reüniú da l'intersezziú da düü cungjuunt cunt un teerz cungjuunt al è iguala a l'intersezziú da la reüniú da ognidü di düü primm cungjuunt cul teerz :
 \forall\ A , \forall\ B , \forall\ C ,\ A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C ) \,

A puvons demustrá (UN1) e lassá (UN2) a títul d'esercizzi.

Da cada custaa da l'igualtaa (UN1) al figüra un cungjuunt e sa l vöör demustrá che chiist cungjuunt i è iguaj. Grazzia a la prupusizziú 2 sü i sübcungjuunt, una strategía pussíbil al è da mustrá che cada custaa al è un sübcungjuunt da l'òolt.

  1. Tulemm un elemeent x partegniint al cungjuunt da manzina. Alura, par definizziú da ∩, x al è in A e x al è in BC; i.e., x al è in A e apó x al è in B u x al è in C (u i düü). Íntal primm caas, x al è cuntempuraniameent in A e in B, al è dunca in AB e a fortiori in (A ∩ B) ∪ (AC). Íntal seguunt caas, x al è cuntempuraniameent in A e in C e dunca al è da nööf in (AB) ∪ (AC). Dunca, int i düü caas, x al è in (AB) ∪ (AC). A emm mustraa che tütt elemeent dal cungjuunt da manzina al è nécessariameent íntal cungjuunt da drita. Però cheest chí al curespuunt esatameent a l'inclüsiú da manzina a drita.
  2. Tulemm un elemeent da x íntal cungjuunt dal membre da drita da l'igualtaa. Alura x al è in AB u x al è in AC (u i düü). Íntal primm caas, x al è in A e x al è in B; íntal seguunt, x al è in A e x al è in C. Int i düü caas, x al è in A. Però íntal primm caas x al è in B e dunca in BC; íntal seguunt caas, x al è in C e dunca amò in BC. A emm pruvaa che quaal-sa-síes x, al partegn al cungjuunt da drita, alura, al è cuntempuraniameent in A e in BC e dunca par definizziú al è in A ∩ (BC). A avons demustraa l'inclüsiú da drita a manzina.

Par la prupusizziú 2, (1) e (2) reünide i pröva che ul cungjuunt da manzina al è iguaal al cungjuunt da drita, cuma prevedüü.

[redatá] Partizziú d'un cungjuunt

Una partizziú d'un cungjuunt E a l’è par definizziú un recuvrameent da cheest-chí par di cungjuunt mia vöj e dis·gjuunt düü a düü. Par esempi, { lündasdí, mardí }, { mercurdí, gjöbia } e { vendredí, sàbet, dumènega } i furma una partizziú dal cungjuunt di da la semana.

Chesta nuzziú la furmaliza l'idea intütiva da « retaj » d'un cungjuunt in plüü « tocch ». L'interess da chesta nuzziú al parissarà plenameent cul stüdi di relazziú d'equivalenza.

[redatá] Diferenza

[redatá] Definizziú

Par cada cungjuuntA e cada cungjuuntB, al esiist un cungjuunt D da che i elemeent i è chij da A ch’al i partegn mia a B ( cheest chí al sigüta da l'assioma da séparazziú ). In nutazziú simbòlica :

 \forall\ A , \forall\ B , \exists\ D /\, \forall\ X ,\ ( X \in D ) \Leftrightarrow [ ( X \in A ) \wedge ( X \not\in B ) ] \,

L'ünicitaa dal cungjuunt D al è garantida par l'assioma d'estensiunalitaa. Sa l nota« A \ B » ( lesí « A maanch B » ), e sa l cjama diferenza da A e da B.

 A \backslash B = \{ x | ( x \in A ) \wedge ( x \not\in B ) \} \,

« Fá la diferenza » da düü cungjuunt A e B sa diis apó « restá » B da A.

[redatá] Prupietaa

  • D1 ( Ø elemeent néutar a drita ) : restá ul cungjuunt vöj d'un cungjuunt al da drée cheest cungjuunt :
 \forall\ A ,\ A \backslash \emptyset = A \,
  • D2 ( Ø elemeent assurbeent a manzina ) : restá un cungjuunt dal cungjuunt vöj al dà ul cungjuunt vöj :
 \forall\ A ,\ \emptyset \backslash A = \emptyset \,
  • D3 ( invulütivitaa ) : restá un cungjuunt da sí-istess dà ul cungjuunt vöj :
 \forall\ A ,\ A \backslash A = \emptyset \,


  • D4 : restá un suracungjuunt d'un cungjuunt al dà ul cungjuunt vöj, u, in d'òolt tèrmen, par tütt A e tütt B, la diferenza da A e da B al è vöja si e noma si A al è cuntegnüü in B :
 \forall\ A , \forall\ B ,\ ( A \backslash B = \emptyset ) \Leftrightarrow ( A \subseteq B ) \,
  • D5 : restá un cungjuunt d'un òolt al dà drée cheest cungjuunt si e noma si i düü cungjuunt i è vöj :
 \forall\ A , \forall\ B ,\ ( A \backslash B = B ) \Leftrightarrow ( A = \emptyset \wedge B = \emptyset ) \,
  • D6 : i düü cungjuunt intervegniint int una diferenza i è interscambiàbil senza mudificazziú dal resültaa noma si i è iguaj :
 \forall\ A , \forall\ B ,\ ( A \backslash B = B \backslash A ) \Leftrightarrow ( A = B ) \,
  • D7 : restá un cungjuunt B d'un cungjuunt A al dà drée A si e noma si i düü cungjuunt i è dis·gjuunt :
 \forall\ A , \forall\ B ,\ ( A \backslash B = A ) \Leftrightarrow ( A \cap B = \emptyset ) \,
  • D8 : restá un cungjuunt B d'un cungjuunt A al dà la suva intersezziú si e noma si A al è vöj :
 \forall\ A , \forall\ B ,\ ( A \backslash B = A \cap B ) \Leftrightarrow ( A = \emptyset ) \,
  • D9 : restá un cungjuunt B d'un cungjuunt A al dà la suva reüniú si e noma si B al è vöj :
 \forall\ A , \forall\ B ,\ ( A \backslash B = A \cup B ) \Leftrightarrow ( B = \emptyset ) \,
  • D10 : si sa l resta un cungjuunt B d'un cungjuunt A, ul resültaa al è un sübcungjuunt da A :
 \forall\ A , \forall\ B ,\ A \backslash B \subseteq A \,


  • D11 ( pseudu-distribütivitaa a drita in le intersezziú da la diferenza par rapòort a la istessa ) : restá sucessivameent düü cungjuunt B e C d'un cungjuunt A al vöör dí da töö l'intersezziú da le diferenze da A e da B, e da A e da C :
 \forall\ A , \forall\ B , \forall\ C ,\ ( A \backslash B ) \backslash C = ( A \backslash B ) \cap ( A \backslash C ) \,
  • D12 : restá d'un cungjuunt A la diferenza da düü cungjuunt B e C al vöör dí da töö la reüniú da la diferenza da A e da B, e da l'intersezziú da A e da C :
 \forall\ A , \forall\ B , \forall\ C ,\ A \backslash ( B \backslash C ) = ( A \backslash B ) \cup ( A \cap C ) \,
  • D13 : reüní un cungjuunt C cun la diferenza da düü cungjuunt A e B al vöör dí da restá la diferenza da B e da C da la reüniú da A e da C :
 \forall\ A , \forall\ B , \forall\ C ,\ ( A \backslash B ) \cup C = ( A \cup C ) \backslash ( B \backslash C ) \,
  • D14 : restá un cungjuunt C da l'intersezziú da düü cungjuunt A e B al vöör dí da töö l'intersezziú da A cun la diferenza da B e da C :
 \forall\ A , \forall\ B , \forall\ C ,\ ( A \cap B ) \backslash C = A \cap ( B \backslash C ) \,
  • D15 ( distribütivitaa a drita da la diferenza par rapòort a l'intersezziú ) : restá un cungjuunt C da l'intersezziú da düü cungjuunt A e B al vöör dí da töö l'intersezziú da la diferenza da ognidü da chiist cungjuunt cun C :
 \forall\ A , \forall\ B , \forall\ C ,\ ( A \cap B ) \backslash C = ( A \backslash C ) \cap ( B \backslash C ) \,
  • D16 ( distribütivitaa a drita da la diferenza par rapòort a la reüniú ) : restá un cungjuunt C da la reüniú da düü cungjuunt A e B al vöör dí a töö la reüniú da la diferenza da ognidü da chiist cungjuunt cun C :
 \forall\ A , \forall\ B , \forall\ C ,\ ( A \cup B ) \backslash C = ( A \backslash C ) \cup ( B \backslash C ) \,
  • D17 ( pseudu-distribütivitaa a manzina in reüniú da la diferenza par rapòort a l'intersezziú ) : restá l'intersezziú da düü cungjuunt B e C d'un cungjuunt A al vöör dí da töö la reüniú da la diferenza da A cunt ognidü di cungjuunt B e C :
 \forall\ A , \forall\ B , \forall\ C ,\ A \backslash ( B \cap C ) = ( A \backslash B ) \cup ( A \backslash C ) \,
  • D18 ( pseudo-distribütivitaa a manzina int intersezziú da la diferenza par rapòort a la reüniú ) : restá la reüniú da düü cungjuunt B e C d'un cungjuunt A al vöör dí da töö l'intersezziú da la diferenza da A cun ognidü di cungjuunt B e C :
 \forall\ A , \forall\ B , \forall\ C ,\ A \backslash ( B \cup C ) = ( A \backslash B ) \cap ( A \backslash C ) \,

Chesta darera prupietaa la pöö da fatt sa dedüí da le precedente. D14 e D15 i pöö vess cunfruntade, in l’istessa manera che D12 e D17.

[redatá] Cumplementari

[redatá] Definizziú

Düü cungjuunt B e C i è cumplementari int un cungjuunt A si i furma una partizziú da A.

Par cada cungjuuntA e cada cungjuuntB, si B al è cuntegnüü in A, alura A \ B sa l nota plütòost « A - B » (lesí amò « A maanch B »), e sa l cjama cumplementari relatif da B in A.

 A \backslash B = A - B = \{ x \in A | \, x \,\not\in \, B \}

Si Ω al designa un üniveers, e A un cungjuunt (forçadameent cuntegnüü íntal üniveers), alura Ω - A al designa ul cumplementari assulüü da A. Al è notaa abitüalameent \bar A (lesí « A bara » u « mia A »).

 \bar A = \{ x (\in \Omega) | \, x \,\not\in \, A \}

[redatá] Prupietaa

PRUPUSIZZIÚ 4 : B e C i è cumplementaire in A si e noma si C al è ul cumplementari relatiif da B in A :
 \forall A, \forall B, \forall C, ( C = A - B ) \Leftrightarrow (B \cup C = A \wedge B \cap C = \emptyset )
PRUPUSIZZIÚ 5 : Par cada cungjuunt üniveersaal Ω e sübcungjuunt A, B, e C da Ω:
  •  \overline{\overline{A}} = A ;
  •  B \backslash A = \overline{A} \cap B ;
  •  \overline{B \backslash A} = A \cup \overline{B} ;
  •  ( A \subseteq B ) \Leftrightarrow ( \overline{B} \subseteq \overline{A} ) ;
  •  A \cap \Omega = A ;
  •  A \cup \Omega = \Omega ;
  •  \Omega \backslash A = \overline{A} ;
  •  A \backslash \Omega = \emptyset ;

[redatá] Diferenza simétrica

[redatá] Definizziú

Par cada cungjuuntA e cada cungjuuntB, al esiist un cungjuunt D da che i elemeent i è chij ch’i partegn al síes a A, al síes a B, però mia aj düü cuntempuraniameent (l'esistenza da cheest cungjuunt la sigüta dal assioma da séparazziú e dal assioma da la reüniú). In nutazziú simbòlica :

 \forall A, \forall B, \exists D / \,\forall X, (X \in D) \Leftrightarrow [(X \in A) \Leftrightarrow (X \not\in B)]

L'ünicitaa dal cungjuunt D a l’è garantida par l'assioma d'estensiunalitaa. Sa la nota« A Δ B » (lesí « A delta B »), e sa la cjama diferenza simétrica da A e da B.

 A \Delta B = \{ x | (x \in A) \Leftrightarrow (x \not\in B) \} = \{ x | (x \in A) \vee\vee (x \in B) \}
( rapell : \vee\vee al designa ul u esclüsif lògica )

Al esiist dò otre definizziú equivalente :

A \Delta B = \{ x | (x \in A \cup B) \wedge (x \not \in A \cap B) \}\,
A \Delta B = \{ x | (x \in A \backslash B) \vee (x \in B \backslash A) \}\,

Chesta darera definizziú la gjüstífega ul nomm da diferenza simétrica daa a chesta uperazziú .

[redatá] Prupietaa

  • DS1 (cumütativitaa) : la diferenza simétrica da düü cungjuunt la depeent mia da l'úrden íntal quaal chiist cungjuunt i è cjapaa :
 \forall A, \forall B, A \Delta B = B \Delta A
  • DS2 (Ø elemeent néutar) : la diferenza simétrica dal cungjuunt vöj e d'un òolt cungjuunt la dà drée cheest cungjuunt :
 \forall A, A \Delta \emptyset = A
  • DS3 (invulütivitaa) : la diferenza simétrica da cada cungjuunt cun sí-istess la dà ul cungjuunt vöj :
 \forall A, A \Delta A = \emptyset

Chesta prupietaa la gh'a par cunseguenza imediata :

  • DS4 (inversibilitaa) : par tütt cungjuunt, al n esiist un taal che la suva diferenza simétrica la síes vöja :
 \forall A, \exists B / A \Delta B = \emptyset

Chesta prupietaa la gh'a al so tuurn par cunseguenza :

  • DS5 (regülaritaa) : si le diferenze simétriche d'un cungjuunt cun düü òolt cungjuunt i è iguale intra da luur, alura chiist düü òolt cungjuunt i è iguaj intra da luur :
 \forall A, \forall B, \forall C, ( A \Delta B = A \Delta C ) \Rightarrow ( B = C )


  • DS6 (Ω elemeent inversuur) : la diferenza simétrica d'un cungjuunt e dal üiveers la dà ul cumplemeent assulüü da cheest cungjuunt :
 \forall A, A \Delta \Omega = \overline{A}
  • DS7 : la diferenza simétrica d'un cungjuunt e dal sò cumplemeent assulüü la dà drée ul réferentiaal :
 \forall A, A \Delta \overline{A} = \Omega
  • DS8 : ul cumplemeent assulüü da la diferenza simétrica da düü cungjuunt al è iguaal a la diferenza simétrica dal ü di düü cungjuunt cul cumplemeent assulüü dal òolt cungjuunt :
 \forall A, \forall B, \overline{A \Delta B} = A \Delta \overline{B}


  • DS9 : par tütt A e tütt B, A \ B e B \ A i furma una partizziú da A Δ B :
 \forall A, \forall B, [\, A \Delta B = ( A \backslash B ) \cup ( B \backslash A ) \,] \wedge [ \,( A \backslash B ) \cap ( B \backslash A ) = \emptyset \,]
  • DS10 : par tütt A e tütt B, A Δ B e AB i furma una partizziú da A U B :
 \forall A, \forall B, [ \,A \cup B = ( A \Delta B ) \cup ( A \cap B ) \,] \wedge [\, ( A \Delta B ) \cap ( A \cap B ) = \emptyset \,]


  • DS11 : la diferenza simétrica da düü cungjuunt al è vöja si e noma si i düü cungjuunt i è iguaj :
 \forall A, \forall B, ( A \Delta B = \emptyset ) \Leftrightarrow ( B = A )
  • DS12 : la diferenza simétrica da düü cungjuunt al è iguala a l'un di düü cungjuunt si e noma si l'òolt cungjuunt al è vöj :
 \forall A, \forall B, ( A \Delta B = A ) \Leftrightarrow ( B = \emptyset )
  • DS13 : la diferenza simétrica da düü cungjuunt al è iguala al ünivèers si e noma si i düü cungjuunt i è cumplementari assulüü :
 \forall A, \forall B, ( A \Delta B = \Omega ) \Leftrightarrow ( B = \overline{A} )
  • DS14 : la diferenza simétrica da düü cungjuunt a l’è iguala al cumplemeent assulüü da ü intra da luur si e noma si l'òolt cungjuunt al è l’ünivèers :
 \forall A, \forall B, ( A \Delta B = \overline{A} ) \Leftrightarrow ( B = \Omega )
  • DS15 : la diferenza simétrica da düü cungjuunt al è iguala a la suva intersezziú si e noma si i düü cungjuunt i è vöj :
 \forall A, \forall B, ( A \Delta B = A \cap B ) \Leftrightarrow ( A = B = \emptyset )
  • DS16 : la diferenza simétrica da düü cungjuunt al è iguala a la suva reüniú si e noma si i è dis·gjuunt :
 \forall A, \forall B, ( A \Delta B = A \cup B ) \Leftrightarrow ( A \cap B = \emptyset )
  • DS17 : la diferenza simétrica da düü cungjuunt al è iguala a la diferenza da l'ü cun l'òolt si e noma si l'ü al è cuntegnüü in l'òolt :
 \forall A, \forall B, ( A \Delta B = A \backslash B ) \Leftrightarrow ( B \subseteq A )


  • DS18 (sucjativitaa) : la diferenza simétrica da trii cungjuunt la depeent mia da l'úrden íntal quaal i uperazziú i è efetuade :
 \forall A, \forall B, \forall C, ( A \Delta B ) \Delta C = A \Delta ( B \Delta C )
  • DS19 (distribütivitaa da ∩ par rapòort a Δ) : l'intersezziú d'un cungjuunt cun la diferenza simétrica da düü òolt cungjuunt al è iguala a la diferenza simétrica di intersezziú dal primm cungjuunt cunt ognidü di düü òolt :
 \forall A, \forall B, \forall C, A \cap ( B \Delta C ) = ( A \cap B ) \Delta ( A \cap C )

[redatá] Esempi

Par illustrá cheste nuzziú, al síes A ul cungjuunt da le persone da manzina, e B ul cungjuunt da le persone blunde. Alura AB al è ul cungjuunt da töcc i manzinée bluunt, e AB al è ul cungjuunt da tüte le persone ch’i è u manzinere u blunde, u i düü. A \ B, al cuntrari, al è ul cungjuunt da tüte le persone ch’i è manzinere però mia blunde, e B \ A al è ul cungjuunt da tüte le persone blunde però mia manzinere. Infí, A Δ B al designa ul cungjuunt da tüte le persone al síes blunde, al síes manzinere, però mia i düü cuntempuraniameent.

Adess süpusemm che E al síes ul cungjuunt da töcc i vess ümà, e che F ul cungjuunt da töcc chij ch’i gh’a da plüü da 1000 agn. Vargott è-l EF in cheest caas? Nissü ümà al gh'a plüü da 1000 agn, dunca EF gh’a da vess ul cungjuunt vöj : Ø.

A emm enümeraa senza démustrazziú plüü da prupietaa sémplis di uperazziú cuj cungjuunt. Cheste prupietaa i pöö vess visüalisade cuj diagraam da Venn.

[redatá] Vidée apó