Teurema da Cauchy

From Wikipedia

Portal Artícuj relazziunaa a Matemàtega
Lumbaart ucidentaal Cheest artícul al è scrivüü in Koiné matemàtica, urtugrafía ünificada. Lombart oriental

Ul Teurema d'esistenza e ünicitaa d'EDU, i.e., da equazziú diferenziale urdinàrie, al stabiliss che:

Al síes X un spazzi da Banach, e al síes f:X\to X una aplicazziú tala che

|f(x)-f(y)| < L|x-y| \qquad \forall x,y\in X

par vargü L\ge0 (sa l diis che f al è una funziú Lipschitz da custanta L). Alura par qual-sa-vöör u_0\in Xal esiist una funziú ünica

u:[0,+\infty)\to X

diferenziàbila, tala che sa l cumpiss

\begin{cases}
{\frac{du}{dt}} = f(u) & \qquad\textrm{en}\ [0,+\infty) \\
 & \\
u(0) = u_0. & 
\end{cases}


Da plüü, sa la gh’a dependenza cuntínua da la sulüzziú par rapòort a la cundizziú inizziala e sa i pöö utegní stimazziú sura la regülaritaa da la sulüzziú.


Demustrazziú: Esistenza. L'equazziú che al cuventa resòolf al è equivaleent a

u(t) = u_0 + \int_0^tf(u(s))ds.

Daa un k > 0 (che sa fixarà plüü endavant), sa l intrudüiss ul spazzi

E=\{u\in C([0,+\infty);X)\ :\ \sup_{t\ge0}e^{-kt}|u(t)|<\infty\}


Sa i pröva le prupietaa seguente:

  • E al è un spazzi da Banach cun la norma
|u|_E=\sup_{t\ge0}e^{-kt}|u(t)|
  • Par tütt u\in E la funziú
(\Phi u)(t) = u_0 + \int_0^tf(u(s))ds
la parteegn a E.
  • |\Phi u-\Phi v|_E \le \frac{L}{k}|u-v|_E \quad \forall u,v\in E

Cura ca k > L, pal teurema dal puunt fiss da Banach, l'aplicazziú Φ a l’è cuntrativa e l’amett un puunt fiss, che al è una sulüzziú.

Ünicitaa. I síes u e v dò sulüzziuns. Puneent

\varphi(t)=|u(t)-v(t)|

al s’uteegn, a partí da la representazziú integrala da le sulüzziú,

\varphi(t)\le L\int_0^t\varphi(s)ds\qquad\forall t\ge0

e vargott implica che \varphi\equiv0.

Regülaritaa.

...

Dependenza cuntínua da le cundizziú inizzials.

...