Camp (matemàtica)

Da Wikipedia.



Ròbe parej - Se a sërca d'àutre ròbe con ës nòm-sì ma n'àutr sust, che a preuva a vardé ëdcò Camp (sinònim).

An matemàtica, un camp a l'é na strutura algébrica. Pì ëd precis, a l'é n'ansem anté ch'as peulo fesse d'adission, sotrassion, multiplicassion e division (për bon-a part dj'element).

Ij camp pì clàssich a son ël camp dij nùmer rassionaj (denotà \mathbb{Q}), ël camp dij nùmer reaj (denotà \mathbb{R}), ël camp dij nùmer compless (denotà \mathbb{C}) e ël camp \mathbb{F}_p dle class ëd resta mòdul p anté che p a l'é un nùmer prim.

La teorìa dij camp a l'é ciamà da cheidun teorìa ëd Galois; tutun, la teorìa ëd Galois a l'é bin ël métod dë studi ch'as àplica an particolar ai camp, lòn ch'a na forma l'esempi stòrich, ma a së spantia ëdcò a motobin d'àutri setor, dont lë studi dj'equassion diferensiaj (teorìa ëd Galois diferensial), o dj'arvestiment.

Contnù

[modìfica] Definission e esempi

[modìfica] Definission

Un camp a l'é n'ansem K dotà ëd doe operassion, denotà soens + e ×, ch'a sodisfo le proprietà sì-da press:

  • (K, +) a forma un grop comutativ dont l'element nèutr a l'é denotà 0;
  • (K - {0}, ×) a forma un grop comutativ (cheidun ant la definission ëd camp a ciama nen che la multiplicassion a sia comutativa; d'àutri, ant ës cas-sì, a parlo ëd còrp);
  • la multiplicassion a l'é distributiva rëspet a l'adission, visadì
\forall (a,b,c) \in K^3, \quad a\times (b + c) = a \times b + a \times c;

As parla antlora dël camp (K, +, ×).

Ij prim camp ëstudià a son ëstàit j'ansem ëd nùmer (rassionaj, réaj, compless, algébrich).

[modìfica] Esempi ëd camp

  • L'ansem dij nùmer rassionnaj, (\mathbb Q, + ,\times) a l'é un camp.
  • L'ansem dij nùmer reaj (\mathbb R, + ,\times) a l'é un camp.
  • L'ansem dij nùmer compless (\mathbb C, + ,\times) a l'é un camp.
  • An aritmética modular, l'ansema (\mathbb Z/p\mathbb Z, + ,\times) anté che p a l'é un nùmer prim a l'é un camp.

Un sot-camp d'un camp K a l'é 'n sot-ansem nen veuid L ëd K, stàbil rëspet a + e \times, tal che L con j'operassion ardità da K a sia ancor un camp.

[modìfica] Caraterìstica

S'a-i é n'antegr natural n>0 tal che 1 + 1 + \cdots + 1 (con n termo) a l'é zero, as dis che la caraterìstica dël camp ël pì cit antegr nen nul ch'a l'ha costa proprietà. S'a-i na i-é gnun, as dis che ël camp a l'é ëd caraterìstica zero (o infinìa).

Ël camp \R a l'ha caraterìstica zero, mentre che ël camp (\mathbb Z/p\mathbb Z) a l'é ëd caraterìstica p. As dimostra ch'un camp a l'ha tavòta caraterìstica 0 opura un nùmer prim.

[modìfica] Camp finì

Costi a son ij camp dont ël nùmer dj'element a l'é finì. Lë studi dij camp finì a l'é rivà tard ant lë studi dij camp. As dimostra che un ant un còrp finì la multiplicassion a l'é tavòta comutativa, e che soa cardinalità a l'é un nùmer prim.

[modìfica] Camp e anel

L'ansema (\mathbb Z, +, \times) a l'é pà un camp përchè la pì part dj'element ëd \mathbb Z^* a son nen anvertìbij: për esempi, a-i é gnun antegr relativ n tal che 2n = 1, donca 2 a l'é nen anvertìbil.

Pì an general, n'ansem A dotà ëd doe operassion + e × taj che:

  • (A, +) a forma un grop comutativ dont l'element nèutr a l'é denotà 0;
  • (A-{0}, ×) a forma un monòid;
  • la multiplicassion a l'é distributiva për l'adission (a snistra tanme a drita);

a l'é n'anel unitari.

Se l'anel a l'é 'n domini d'antegrità, visadì a l'é comutativ e

\forall (a,b) \in A^2, \quad ab=0 \Rightarrow a=0 \hbox{ opura } b=0,

l'anel a l'é scasi un camp përchè a-j manca mach pì l'anvertibilità për la multiplicassion. As a dimostra antlora che as a peul mojé l'anel an sò camp dle frassion, che a l'é ël pì cit camp ch'a conten l'anel.

Esempi : \mathbb Q a l'é ël camp dle frassion ëd \mathbb Z.

[modìfica] Camp e spassi vetoriaj

An ancaminand con ël camp \R, a l'é natural d'anteressesse a  \R^n, l'ansem dj'n-uple ëd reaj. As peulo definisse ëd fasson natural n'adission e na multiplicassion për un real. La strutura definìa parèj (n'adission anterna ch'a dà a l'ansem na strutura ëd grop comutativ e na multiplicassion esterna ch'a l'ha dle proprietà ëd distributività e d'assossiatività) a l'é ciamà spassi vetorial ansima a \R. A ven antlora natural defini lòn ch'a l'é në spassi vetorial ansima a un camp K qualsëssìa.

[modìfica] Camp e equassion algébriche

Lë studi dij polinòmi a coefissient ant un camp e l'arserca ëd soe rèis a l'ha motobin dësvlupà la nossion ëd camp. Si f a l'é un polinòmi ëd gré n ansima a un camp K, l'equassion f(x) = 0 a l'é n'equassion algébrica an K. Se, an dzorpì, f a l'é un polinòmi ireduvìbil, l'equassion as dis ireduvìbil. Cand n a l'é ugual o pì grand che doi, trové le solussion ëd n'equassion parèj a ciama ëd butesse ant un camp pì grand che K, visadì n'estension ëd camp.

Për esempi, l'equassion x2 − 2 = 0 a l'é ireduvìbil an \mathbb Q ma a l'ha 'd rèis an  \mathbb R o, con pì precision, an \mathbb Q[\sqrt 2]. L'equassion x2 + 1 = 0 a l'ha nen ëd solussion an \mathbb R ma a 'n n'ha an \mathbb C o, con pì precision, an \mathbb Q[i].

Ël camp dë s-cianch d'un polinòmi a l'é un camp minimal ch'a conten K e na rèis d'f.

Ël camp ëd decomposission ëd f a l'é ël pì cit camp ch'a conten K parèj che tute le rèis d'f.

Lë studi dij camp ëd decomposission d'un polinòmi e dël grop ëd përmutassion ëd soe rèis a forma la branca dla matemàtica ch'as ciama la teorìa ëd Galois.

[modìfica] Àutre branche dë studi

As artreuva la teorìa dij camp ant lë studi ëd chèiche fonsion tanme le fonsion rassionaj o le fonsion elìtiche.

[modìfica] Stòria

Fin-a al sécol ch'a fa XIX, j'ansem ëd nùmer a smijavo tant naturaj che gnun a l'era preocupasse ëd dèje un nòm, e gnanca ëd defini con precision soa strutura. Tutun, con lë s-ciòde dlë studi dij nùmer algébrich, a son ëspontà ansem ëd nùmer diferent daj rassionaj, ij reaj e ij compless. A l'é vnuje da manca ëd precisè la strutura ëd camp, peuj la nossion d'antegr ansima a's camp e, për finì, la nossion d'anel. Coste nossion a son euvra dla scòla alman-a. A l'é sàit Richard Dedekind che a l'ha definì për la prima vira la strutura ëd camp (Körper an alman) e costa a l'é la rason për che soens ij camp a son denotà K. La strutura ëd camp a rintra an na gerarchìa ch'a comprend ij monòid, ij grop, j'anej, ij còrp e a l'é a l'adoss dla definission dë spassi vetorial, e d'àlgebra.

OMMI! Ma io non SO LEGGERE!!

E be'? :) È facile imparare a leggere una lingua che si parla già. Consulti

questa pagina e vedrà, in un attimo anche Lei avrà il suo badge da bogianen :)
St'utent-sì a l'é un bogianen



OMMI! pero si YO no
SE LEER!

¿Y que? :) Es fácil aprender a leer un idioma que ya se habla. Consulte usted esta pagina y verá, en un momento tendrá usted su Badge de Bogianen :)


Figura:Giandoja-mobilitassion-cit.jpg
'cò ti it peule travajé a fé pì granda e bela la wikipedia piemontèisa. Tùit a peulo gionté dj'anformassion, deurbe dij neuv argoment, deje na man aj volontari che a travajo ambelessì 'ndrinta. Rintra ant la Piòla e les coma avnì a fé toa part. I soma na gran famija e i l'oma da manca dël travaj ëd tùit.


BANCHÈT dj'UTISS
Lìber për chi a veul amprende

a lese e a scrive mej an piemontèis, e che an fan d'arferiment a tùit për la coression ortogràfica dij test ant sle pàgine marcà koiné piemontèisa.

Për ёscrive dësgagià, che as dëscarìa la Tastera piemontèisa!

E che a manca pa dë vardesse la pàgina d'agiut për chi as anandia da zero.

Àutre lenghe